Дифференциальное уравнение

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 79-80 Интегрируемые типы дифференциальных уравнений (1976) [1:05:34]

Визуализация воздушного потока, рассчитанная решением уравнения Навье-Стокса

Визуализация теплообмена в корпусе насоса, созданная путём решения уравнения теплопроводности

График некоторых частных интегралов дифференциального уравнения

Дифференциальное уравнение — уравнение, устанавливающее зависимость между независимыми переменными, числами (параметрам), неизвестными функциями и их производными.

Неизвестная функция может быть как скалярной, так и векторной.

Такие зависимости отыскиваются в различных областях знаний: в механике, физике, химии, биологии, экономике и др. Дифференциальные уравнения широко используются на практике, в частности для описания переходных процессов, колебаний, теплопроводности, деформации балок и пластин, распространении электрического тока в проводнике и тому подобное.

Дифференциальные уравнения или теория дифференциальных уравнений — раздел математики, который рассматривает теорию и способы решения дифференциальных уравнений.

Основные понятия и определения

В случае одного аргумента дифференциальное уравнение называется обыкновенным; в случае нескольких аргументов — дифференциальным уравнением в частных производных. Более сложными являются интегро-дифференциальные уравнения.

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в уравнение.

Степенью дифференциального уравнения называется самая высокая степень, до которой возвышенна производная наибольшего порядка, входящего в уравнение.

Решением дифференциального уравнения порядка n называется функция, имеющая производные, до n-ного порядка включительно на некотором интервале, подстановки которой в уравнение превращает его в тождество. Если уравнение имеет решение, то не одно, а бесконечное множество; решение может зависеть не только от аргумента, но также от одной или нескольких произвольных постоянных или функций. Если решение уравнения получено в форме неявной функции, то его называют интегралом уравнения.

Начальными условиями или граничными условиями называются дополнительные условия, налагаемые на функцию при решении конкретной задачи, приводящей к дифференциальному уравнению. В этих условиях решение может оказаться единственным. Решение уравнения, зависящее от произвольных постоянных, количество которых равно порядку уравнения и которые могут быть подобраны так, чтобы удовлетворить любым начальным и граничным условиям, допускающим единственное решение, называется общим решением. Частным решением дифференциального уравнения называется любое решение, которое может быть получено из общего при определенных числовых значениях произвольных постоянных. Произвольные постоянные, входящие в общее решение, определяются из начальных или граничных условий.

Дифференциальное уравнение называется интегрируемым в квадратурах, если задачу нахождения всех решений можно свести к вычислению конечного числа интегралов от известных функций и простых алгебраических операций.

Сначала дифференциальные уравнения возникли из задач механики, в которых участвовали координаты тел, их скорости и ускорения, рассматриваемые как функции от времени, позже они нашли применение практически во всех разделах физики — такие основные для своих областей уравнения как уравнения Максвелла в электродинамике, уравнения Эйнштейна в общей теории относительности и уравнение Шрёдингера в квантовой механике является дифференциальными. Многие модели из других наук, таких как биология, химия и экономика также описываются различными дифференциальными уравнениями.

Для многих из этих уравнений, в том числе практически важных, например, уравнения Навье-Стокса, ещё не найдено решения в общем виде. Однако в реальных задачах с помощью численных методов можно найти их решение с любой необходимой точностью.

История

Дифференциальные уравнения были изобретены Ньютоном (1642—1727). Ньютон считал это свое изобретение настолько важным, что зашифровал его в виде анаграммы, смысл которой в современных терминах можно свободно передать так: «законы природы выражаются дифференциальными уравнениями».

Основным аналитическим достижением Ньютона было разложение всевозможных функций в степенные ряды (смысл второй, длинной анаграммы Ньютона в том, что для решения любого уравнения нужно подставить в уравнение ряд и приравнять члены одинаковой степени). Особое значение имела здесь открытая им формула бинома Ньютона (разумеется, не только с целыми показателями, для которых формулу знал, например, Виет (1540—1603), но и, что особенно важно, с дробными и отрицательными показателями). Ньютон разложил в «ряды Тейлора» все основные элементарные функции (рациональные, радикалы, тригонометрические, экспоненту и логарифм). Это, вместе с составленной им таблицей первообразных (которая перешла в почти неизменном виде в современные учебники анализа), позволяло ему, по его словам, сравнивать площади любых фигур «за половину четверти часа».

Ньютон указывал, что коэффициенты его рядов пропорциональны последовательным производным функции, но не останавливался на этом подробно, поскольку он справедливо считал, что все вычисления в анализе удобнее проводить не с помощью кратных дифференцировок, а путем вычисления первых членов ряда. Для Ньютона связь между коэффициентами ряда и производными была скорее средством вычисления производных, чем средством составления ряда. Одним из важнейших достижений Ньютона является его теория солнечной системы, изложенная в «Математических принципах натуральной философии» («Principia») без помощи математического анализа. Обычно считают, что Ньютон открыл с помощью своего анализа закон всемирного тяготения. На самом деле Ньютону (1680) принадлежит лишь доказательство эллиптичности орбит в поле притяжения по закону обратных квадратов: сам этот закон был указан Ньютону Гуком (1635—1703) и, пожалуй, угадывался еще несколькими учеными.

Из огромного числа работ XVIII века по дифференциальным уравнениям выделяются работы Эйлера (1707—1783) и Лагранжа (1736—1813). В этих работах была прежде всего развита теория малых колебаний, а следовательно — теория линейных систем дифференциальных уравнений; попутно возникли основные понятия линейной алгебры (собственные числа и векторы в n-мерном пространстве). Характеристическое уравнение линейного оператора долго называли секулярным, поскольку именно из такого уравнения определяются секулярные (возрастные, то есть медленные по сравнению с годовым движением) возмущения планетных орбит согласно теории малых колебаний Лагранжа. Вслед за Ньютоном Лаплас и Лагранж, а позже Гаусс (1777—1855) развивают также методы теории возмущений.

Когда была доказана неразрешимость алгебраических уравнений в радикалах, Лиувилль (1809—1882) построил аналогичную теорию для дифференциальных уравнений, установив невозможность решения ряда уравнений (в частности таких классических, как линейные уравнения второго порядка) в элементарных функциях и квадратуре. Позже Софус Ли (1842—1899), анализируя вопрос об интегрировании уравнений в квадратуре, пришел к необходимости подробно исследовать группы диффеоморфизмов (получивших впоследствии имя групп Ли) — так по теории дифференциальных уравнений возникла одна из самых плодотворных областей современной математики, дальнейшее развитие которой было тесно связано совсем с другими вопросами (алгебру Ли еще раньше рассматривали Пуассон (1781—1840) и, особенно, Карл Густав Якоб Якоби (1804—1851)).

Новый этап развития теории дифференциальных уравнений начинается с работ Анри Пуанкаре (1854—1912), созданная им «качественная теория дифференциальных уравнений» вместе с теорией функций комплексных переменных привела к основанию современной топологии. Качественная теория дифференциальных уравнений, или, как теперь ее чаще называют, теория динамических систем, сейчас развивается активно и имеет важные применения теории дифференциальных уравнений в естествознании.

Список дифференциальных уравнений

• с разделяющимися переменными;
• однородное;
• линейное;
• уравнение Бернулли;
• уравнение в полных дифференциалах;
• уравнение Клеро;
• уравнение второго порядка, не содержащее y и y^’;
• уравнение второго порядка, не содержащее y;
• уравнение второго порядка, не содержащее x;
• однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами;
• уравнение n-ого порядка, содержащее только переменную x;
• однородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• неоднородное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами;
• общее дифференциальное уравнение.

См.также

• Система дифференциальных уравнений

Литература

1. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. — American Mathematical Society, 2012. — Т. 140. — ISBN 978-0-8218-8328-0. (англ.)
2. Ordinary Differential Equations. — Dover, 1985. — ISBN 0-486-64940-7. (англ.)
3. Ordinary differential equations. — Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2002. — Т. 38. — ISBN 978-0-89871-510-1. (англ.)
4. Partial Differential Equations: An Introduction. — 2nd. — John Wiley & Sons, 2008. — ISBN 978-0470054567. (англ.)
5. В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения — 4-е изд. — Ижевск: Удм. гос. университет, 2000. — 367 с. ISBN 5-89806-029-4

Ссылки

• Gabriel Nagy (2016), Ordinary Differential Equations, Michigan State University. (англ.)