Алгебра фондового анализа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра фондового анализа — раздел фондового анализа, изучающий самые общие особенности числового прогнозирования цен на акции. Аналитикам важна математическая постановка задачи, которая начинается с модели реального процесса. Хотя модель всегда огрубляет действительность, без модели нельзя применять математические методы. В математике не существует более общего объекта для изучения, чем алгебра — множество с заданными на нем операциями объединения и пересечения. Поэтому если мы откажемся от понятия алгебра, то значит любые математические методы мы считаем неприемлемыми для изучения объекта (даже обычные сложения цен). Поэтому никому и никогда не приходило в голову отказаться от структуры алгебры на пространстве исходных событий.

Содержание

[править] О практичности

Для фондового аналитика задача решена, когда можно изложить в виде «делай раз, делай два, делай три» и получишь ответ, причем в этот ответ должен быть единственным или хотя бы число решений строго конечно.

Найти решение эмпирически — это не значит найти верное решение. Это можно сделать когда число решений конечно. Соответствие решения детерминированного уравнения прошлым значениям — не гарантирует совпадения в будущем.

[править] Метод полного перебора

Первый вопрос, который ставит перед собой математик при построении модели: в чем мерить наблюдаемые величины. С точки зрения анализа фондового рынка важно ответить на другой вопрос. Является ли цена числом, то есть ее можно складывать вычитать, умножать, делить. Или эти операции к ней неприменимы. Если цена число, то получаем распределение в поле действительных чисел (рациональное — частный случай). Если не число, то надо применять другие теории. Ведь вопрос не в том, что такое цена, а в том, какие бинарные операции мы можем на ней задать.

Самый интуитивно понятный метод фондового анализа полный перебор, который работает с величинами, принимающими конечное число значений. Количество денег ограничивается эмиссионной политикой государственных банков. Так как есть правило четырех значимых чисел (в РТС) и его разновидности во всех без исключения системах электронной торговли — процесс носит дискретный характер и цены сводятся к целочисленным значениям.

Иными словами, методы диференциального и интегрального исчисления для фондового анализа должны заменятся методами теории чисел. (Эту точку зрения отстаивал Саид Гафуров). Если принципиально стоять на точке зрения рациональных чисел, то остаются только методы теории чисел и классический технический анализ.

Однако, экономическая теория утверждает, что денежная масса, определяющая предложение денег на рынке, пропорциональна не только количеству выпущенных денег, но и скорости их оборота. В этой связи, по мнению Александра Горчакова, цены на фондовом рынке, а также все показатели, измеряемые в денежной форме, измеряются в действительных числах, а, следовательно, могут принимать бесконечное число значений. При таком подходе метод полного перебора неприменим.

[править] О р-адических полях

При альтерантивном подходе цена акций отражают долю в акционерном капитале (например, я владею 2 долями из 1000 долей нефтяной компании). То есть, цена акции может лежать только в поле рациональных (а не действительных) чисел. Рациональное (через пополнение нормой) поле может привести не только к полю действительных чисел, но и к другим полям (р-адическим например), это так называемая теорема Островского.

Однако, если мы откажемся от действительнозначности цены, то принципиальным становится факт, что дифференциальных уравнений в поле рациональных чисел нет (только разностные). А в теории вероятностей дискретные случайные величины есть и очень хорошо изучены. Так что рациональные числа или действительные — для применения теории вероятностей не важно.

[править] Качественные показатели

Сложнее с некоторыми другими показателями. Как мерить качественные величины — это весьма интересный вопрос. А.Горчаков утверждал: «Но давайте задумаемся, на каком этапе исследований эти показатели возникают. Ведь инвестору нужен только один показатель — будущая цена актива. Это чисто числовой показатель и определить его „полным перебором“ нельзя. Конечно, можно взять и разбить возможные значения на конечное число интервалов, но уже в этом случае происходит огрубление реальных данных. Поэтому отказываться от континуальности значения цены я думаю преждевременно. Таким образом, цель нашего исследования — это вектор будущих значений цен нескольких активов (то, что число активов конечно сомнений не вызывает)».

[править] О теоретико-вероятностной модели цен

Можно ли при исследовании этого вектора использовать методы теории вероятностей? Или (что просто перефразировка предыдущего вопроса): можно ли считать этот вектор случайной величиной? Или: можно ли в качестве математической модели для этого вектора взять модель случайной величины?

В математике детерминированная величина отличается от случайной тем, что для первой исследователь всегда может вычислить точное значение. Можно ли точно указать значение будущих цен? Значит, либо мы имеем дело с действительно случайной величиной, либо с непознанной закономерностью. Но в последнем случае теоретики сплошь и рядом используют мощный аппарат теории вероятностей (самый яркий пример — квантовая механика).

Итак, мы получаем (в рамках модели, несильно огрубляющей действительность), что вектор будущих значений цен является случайной величиной, а последовательность этих векторов во времени — последовательностью случайных величин. Переход от одной случайной величины к последовательности не таит никаких подводных камней и о нем можно прочитать в любом учебнике по теории вероятностей.

[править] Предельные теоремы в фондовом анализе

Таким образом, исследуемая последовательность цен является последовательностью случайных действительнозначных векторов. Однако это очень общая постановка задачи и в рамках ее результатов в теории вероятностей почти нет. Значит надо накладывать ограничения на последовательность. До середины века теория вероятностей оперировала почти исключительно с последовательностями независимых случайных величин (то есть наряду со счетной аддитивностью предполагалась и мультипликативность вероятностей). Но это не было аксиомой теории вероятностей, а лишь условием для получения содержательных результатов.

Исключение составляли лишь цепи Маркова, которые развивались исключительно в рамках советской математической школы. Работа Бушелье, в которой фактически вводились мартингалы, тогда еще была малоизвестна широкому кругу математиков, чуравшихся работ по финансовым рынкам. Но на современном этапе развития уже неоднократно было показано, что от независимости можно отказаться, заменив ее более слабыми условиями «слабой зависимости». Фактически все изученные в теории вероятностей объекты удовлетворяют тем или иным условиям «слабой зависимости» — мартингалы, последовательности с сильным перемешиванием, с заданным графом зависимостей, временные ряды авторегрессии — скользящего среднего и т. п.. Зачем нужна слабая зависимость? Для того, чтобы применять сильный аппарат предельных теорем. Что же такое предельное теорема? Это сходимость суммы большого числа случайных величин к некоторому хорошо изученному распределению, для которого можно все рассчитать.


[править] Об эргодичности, стационарности и гомогенности в фондовом анализе

Другое важное предположение возникает из задачи статистического определения параметров случайных величин — среднего, дисперсии и т. п.. В статистике хорошо известно, что определить эти параметры по выборке можно только в том случае, если это выборка из распределений с близкими параметрами. Грубо говоря, отклонение параметра для конкретной величины от некоторого фиксированного значения должно быть малым по сравнению с общим числом наблюдаемых величин. Только в этом случае мы можем доказать, что наш параметр практически совпадает с тем фиксированным значением, о котором написано выше. В более узкой форме, когда параметры в точности совпадают — это называется стационарностью. Итак, чтобы вообще изучать случайные величины мы должны сделать предположение о медленной изменчивости параметров (почти стационарности) этих случайных величин. Увы, но это так.

[править] О логарифмах в фондовом анализе

Но для практика важны не огрубления модели, а ее соответствие реальным данным. Для самих цен совершенно очевидно, что условия «слабой зависимости» и «почти стационарности» не выполняются. Это видно невооруженным взглядом. Совершенно иная картина получается при переходе к первой и второй разности логарифмов цен.

А.Горчаков эмпирически показал, что почти все тесты дают и почти стационарность на дневных данных за относительно небольшой период — 300—500 торговых дней (достаточно разбить ряд на непересекающиеся участки и сравнить средние) и "слабую зависимость для значений разностей логарифмов цен лежащих друг от друга более, чем на 7 дней. Достаточно взять пары значений со сдвигом на семь дней и применить известные тесты на независимость последовательностей. Тоже самое подтверждается и автокорреляционными функциями и кросс-корреляционными функциями, построенными для первых и вторых разностей цен различных активов. Значит естественно предположить, что цены не чисто случайные величины, а являются комбинацией случайных величин и детерминированных. То, что случайность наиболее ярко обнаруживается в первых и вторых разностях логарифмов цен сразу приводит нас к наиболее адекватной в таком случае модели процесса — вектор логарифмов цен является суммой детерминированного вектора и случайного вектора. Конечно сумма — это натяжка, но это наиболее адекватная из известных модель для величин с указанными выше свойствами. Такая модель случайного процесса наиболее адекватно описывает свойства реального ряда цен.

[править] Задача прогноза

Но описать — не значит решить задачу прогноза. Это уже другая задача теории вероятностей. Теоретически решается она достаточно просто — лучший в среднеквадратичном прогноз — это условное среднее прогнозируемой случайной величины при известных случайных величинах (факторах). Но тут возникает другой важный вопрос. До этого момента мы рассматривали только цены. Здесь принципиальной становится проблема эргодичности.

Но ведь естественно предположить, что цены зависят не только от цен в предыдущие моменты времени но и от других известных параметров (прибылей компании, состава акционеров, номеклатуры выпускаемого товара, числа и состава игроков торгующих акциям данной компании и т. п.). А чем от большего числа факторов мы считаем условное среднее, тем лучше наш прогноз. С другой стороны методов вычисления условного среднего немного (и все статистические) и их трудоемкость существенно зависит от числа факторов, а надежность (то есть вероятность совпадения статистически подсчитанного условного среднего с реальным) от соотношения между числом факторов и числом наблюдений.

[править] Задача отсева факторов

На этапе отсева факторов математическая строгость исчезает и начинается интуиция. При отсеве незначимых факторов может быть сколько людей столько и мнений. Строго статистического (да и просто математического) решения этой задачи в настоящее время нет. Отчасти это связано с тем, что не все факторы можно описать численно. А изучать зависимость между качественной случайной величиной и численной численными методами (основными в теории вероятностей и математической статистике) строго невозможно. Есть теоретические работы, предлагающие методы выявления зависимостей, но все они работают только в одну сторону — дают ответ, что зависимость есть, но не могут даже с большой вероятностью сказать, что ее точно нет. Такими методами можно только сформулировать строго одно из двух утверждений: либо «зависимость есть, либо данным методом (!) зависимость не выявлена». Да и с численными величинами все не так просто.

[править] Об оптимальном соотношении числа факторов и числа наблюдений

Следует избегать методов, которые включают в модель все подряд, и пытаются получить результат с огромным числом факторов и маленьким числом наблюдений. Математически это нонсенс. Когда число факторов больше числа наблюдений можно всегда подобрать любое сколь угодно точное решение любой совместной системы уравнений (а несовместной она не может быть по определению) и даже огромное количество решений. Таким образом, вероятность угадать одно правильное равна 1 деленной на число решений. А число решений то может быть и бесконечным.

[править] Об аксиомах теории вероятностей

Действительнозначность вероятностной меры под сомнение была поставлена только однажды — Дж. М. Кейнсом в его трактате «Вероятность» (1910 год). Но сам автор в 1930-х годах назвал эту работу «самой худшей и наивной» из его работ. И в 1930-х годах стал активным приверженцем аксиоматики Колмогорова — Р. фон Мизеса и никогда не ставил ее под сомнение. Конечность вероятности и счетная аддитивность — это сильные ограничения, но попытка убрать их, не разрушив здания всей теории, оказались тщетными. Это в 1974 году признал один из самых ярких критиков аксиоматики Колмогорова — Бруно де Финетти.

Более того, он показал фактически обратное — отказ от счетной аддитивности делает невозможными операции интегрирования и дифференцирования и, следовательно, не дает возможности использовать аппарат математического анализа в теории вероятностей. Поэтому задача отказа от счетной аддитивности — это не задача реформирования теории вероятностей, это задача отказа от использования методов математического анализа при исследовании реального мира.

Попытки же отказаться от конечности вероятностей привели к построению теории вероятностей с несколькими вероятностными пространствами на каждом, из которых выполнялись аксиомы Колмогорова, но суммарно вероятность уже не должна была быть конечной. Но пока неизвестно каких-либо содержательных результатов, которые могли бы быть получены в рамках этой аксиоматики, но не в рамках аксиоматики Колмогорова. Поэтому это обобщение аксиом Колмогорова пока носит чисто схоластический характер.

[править] Персоналии

Признанным российским специалистом по Алгебре фондового прогнозирования является лауреат Государственной премии в области статистики Александр Горчаков.

Другие ученые: C. Салтыков, Н. Старченко, В. Жарков, Cаид Гафуров.

[править] См. также

[править] Примечания

  • Тексты написаны на основе материалов А.Горчакова

[править] Литература

  • Фондовый анализ и прогнозирование:
    • Г. Тейл. Экономические прогнозы и принятие решений. М.: «Прогресс» 1970.
    • К. Д. Льюис. Методы прогнозирования экономических показателей. М.: «Финансы и статистика» 1986.
    • Г. С. Кильдишев, А. А. Френкель. Анализ временных рядов и прогнозирование. М.: «Статистика» 1973.
    • Дж.-О. Ким, Ч. У. Мьюллер, У. Р. Клекка и др. Факторный, дискриминантный и кластерный анализ. М.: «Финансы и статистика» 1989.
    • Б. Дюран, П. Оделл. Кластерный анализ. М.: «Статистика» 1977.
  • Анализ временных рядов и распознавание образов:
    • И. И. Елисеева, В. О. Рукавишников. Группировка, корреляция, распознавание образов. М.: «Статистика» 1977.
    • У. Гренандер. Лекции по теории образов. том 2. Анализ образов. М.: «Мир» 1981.
    • Дж. Ту, Р. Гонсалес. Принципы распознавания образов. М.: «Мир» 1978.
    • К. Верхаген, Р. ДTйн, Ф. Грун, Й. Йостен, П. Вербек. Распознавание образов. Состояние и перспективы. М.: «Радио и связь» 1985.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты