Вычитание ста пяти

Вычитание ста пяти (яп. 百五減算) — метод решения арифметических задач, сформулированный в книге «Дзинкоки» (первый в истории японский учебник арифметики), по аналогу с китайской теоремой об остатках.

Практическое представление задачи

Оригинальная формулировка:

Имеется несколько камней го. Убирая камни по 7, получим в остатке 2 камня, а убирая по 5 камней — 1 камень, а убирая по 3 камня — 2 камня. Сколько всего имеется камней го, притом учитывая что их общее количество меньше 180?" Оригинальный текст (яп.)   碁石がいくつかあります。７個づつに分けると２個余ります。５個づつに分けると１個余ります。３個づつに分けると１個余ります。　碁石はいくつありますか？　ただし、碁石は最大で１８０個しかありません

Правильный ответ: 86

Общий способ: Умножив 2 (остаток при убирании камней по 7) на 15, получим 30, умножив 1 (остаток при убирании камней по 5) на 21 — 21, умножив 2 (остаток при убирании камней по 3) на 7 — 140. Сложив все 3 числа, получим 191. Если число превысит 105, то нужно вычитать по 105 до тех пор, пока в результате не получится меньше 100. В данном случае 86.

Представим это в виде: 7a + 2, 5b + 1, 3c + 2 (a, b, c — целые).

Представим следующее число: P = p(5 × 3× 2)+q(7 × 3 × 1)+r(7 + 5+ 2) = 30p + 21q + 70r (p, q, r — целые).

P = p(5 × 3 × 2) + q(7 × 3 × 1) + r(7 × 5 × 2) = 30p + 21q + 70r

P ≡ 2 (mod. 7) ∴ 30p ≡ 2 (mod. 7)

p ≡ 1 (mod. 7)

p = 1

P ≡ 1 (mod. 5) ∴ 21q ≡ 1 (mod. 5)

q ≡ 1 (mod. 5)

q = 1

P ≡ 2 (mod. 3) ∴ 70r ≡ 2 (mod. 3)

r ≡ 2 (mod. 3)

r = 2

∴ P = 15 × 2 + 21 × 2 + 70 × 2

P ≡ 86 (mod. 7 × 5 × 3)

Решение:

x − 2 = 7l, x − 1 = 5m, x − 2 = 3n (l, m, n — целые)

x − 2 = 21p, x − 1 = 5m (p — целое)

x > 0 ∴ p > −(2/21), 5m − 21p = 1

p = 4, m = 17

∴ x = 1 + 5 × 17 = 86

Ссылки

• «吉田光由『塵劫記』校注», Синити Отани, Iwanami