Контуры расширенной гиперболической плоскости положительной кривизны
Конечным замкнутым n-контуром расширенной гиперболической плоскости H2 называют конечную замкнутую на H2 ломаную, все звенья которой ― отрезки параболических прямых [1], [2], [3], [4], [5].
Понятие расширенной гиперболической плоскости[править]
Расширенной гиперболической плоскостью H2 называют проективную плоскость с фиксированной на ней овальной линией γ [6], линию γ в этом случае называют абсолютом плоскости H2. Все точки линии γ называют бесконечно удаленными, или несобственными. На внутренней области относительно овальной линии γ может быть реализована геометрия плоскости Лобачевского, а на множестве всех внешних относительно абсолюта точек, образующих так называемую идеальную область плоскости Лобачевского, можно построить различные геометрии. Каждую прямую плоскости H2 по наличию общих с абсолютом точек можно отнести к одному из трех типов. Прямые, пересекающие абсолют в двух действительных точках, называют гиперболическими, в двух мнимо сопряженных точках — эллиптическими, а касательные к абсолюту называют параболическими прямыми. Параболические прямые являются изотропными на плоскости H2. На прямых указанных типов с помощью точек абсолюта введены понятия: направление, луч, отрезок, квазиотрезок, середина отрезка и квазиотрезка, квазисередина отрезка.
Проективная прямая является замкнутой, поэтому для точек на ней имеют место те же отношения порядка, что и для точек, например, окружности евклидовой плоскости. Единственным инвариантом для точек проективной прямой является сложное, или ангармоническое, отношение четырех точек.
Пусть на параболической прямой l точка K принадлежит абсолюту. Удаление точки K меняет топологию прямой l, сохраняя ее связность. После удаления точки K любая точка A прямой l разделяет прямую на две части. Получаем два направления на прямой l, два луча с началом в точке A. Любые две точки A и B прямой l разделяют ее на три пересекающиеся попарно не более чем в одной точке части, две из которых — лучи AK и BK. Третью часть называют отрезком с концами в точках A, B. Или более строго: отрезком AB параболической прямой l называют множество, состоящее из точек A, B и всех точек X прямой l, разделяющих с абсолютной точкой K прямой l пару точек A, B.
Разделенность (неразделенность) пар A, B и X, K точек прямой l соответствует неравенству (ABXK) < 0 ((ABXK) > 0), где (ABXK) — сложное отношение четырех данных точек. Положение точки X отрезка AB параболической прямой l можно характеризовать неравенством (ABXK) < 0, а точки Y луча BK — неравенством (AY BK) < 0.
Понятие контура расширенной гиперболической плоскости[править]
Пусть A1, A2, ... , An — такая упорядоченная последовательность действительных точек расширенной гиперболической плоскости H2, что каждая прямая A1A2, A2A3, ... , An−1An, AnA1 является параболической. Совокупность всех отрезков A1A2, A2A3, ... , An−1An, AnA1, соответствующих параболических прямых называют конечным замкнутым n-контуром или кратко: n-контуром [3]. Точки A1, A2, ... , An называют вершинами, прямые A1A2, A2A3, ... , An−1An, AnA1 — сторонами, а отрезки A1A2, A2A3, ... , An−1An, AnA1 — ребрами n-контура. Ребра (вершины), имеющие общую вершину (принадлежащие одному ребру), называют смежными ребрами (вершинами) n-контура. Точку плоскости H2 называют особой точкой n-контура, если она является общей точкой несмежных ребер данного n-контура. Другими словами, особая точка n-контура ― это точка его самопересечения.
Конечный замкнутый n-контур называют простым, если он не имеет особых точек. В противном случае контур называют составным.
Точку плоскости H2 называют внутренней относительно n-контура, если она не принадлежит данному n-контуру, и каждая прямая, проходящая через эту точку, имеет с n-контуром, по крайней мере, две общие точки.
Непустое множество всех внутренних относительно n-контура точек плоскости H2 называют внутренностью данного n-контура. Обозначение: int F — внутренность контура F .
По определению конечный замкнутый n-контур не содержит бесконечно удаленных точек плоскости, а каждая его сторона касается абсолютной овальной квадрики плоскости H2, следовательно, каждая его точка является внешней по отношению к абсолюту.
Свойства конечных замкнутых n-контуров[править]
Теорема 1 ([1], [3]). Если F — конечный замкнутый 3-контур плоскости H2, то выполняются следующие утверждения:
1) не существует точек, внутренних относительно контура F;
2) любая прямая плоскости H2 имеет с контуром F, по крайней мере, одну общую точку;
3) если некоторая прямая не содержит вершин контура F и пересекает два его ребра, то она пересекает и третье ребро контура F.
Вершины (ребра) замкнутого конечного 4-контура называют противоположными, если они не являются смежными.
Прямые, соединяющие противоположные вершины конечного замкнутого 4-контура, называют его диагональными прямыми.
Теорема 2 ([2], [3]). Пусть ρ — множество всех конечных замкнутых 4-контуров расширенной гиперболической плоскости H2. Тогда справедливы следующие утверждения:
1) любой контур из ρ или простой, или составной с двумя особыми точками;
2) диагональные прямые каждого контура из ρ непараболические и взаимно ортогональные, они различных типов (гиперболического типа) тогда и только тогда, когда контур простой (составной); диагонали простого (составного) контура из ρ пересекаются в их середине (квазисередине);
3) прямая, содержащая точки пересечения противоположных сторон контура из ρ, является гиперболической (эллиптической) тогда и только тогда, когда контур является простым (составным);
4) каждая прямая пересекает, по крайней мере, два ребра любого составного контура из ρ; если прямая имеет с составным контуром из ρ единственную общую точку, то эта точка для контура является особой;
5) каждая прямая, не содержащая вершину простого контура из ρ, либо не имеет с этим контуром общих точек, либо пересекает точно два ребра контура;
6) если изотропная прямая пересекает ребро простого контура из ρ, то она пересекает и противоположное ему ребро;
7) любой простой контур из ρ является выпуклым;
8) каждая точка на ребре простого контура F из ρ однозначно определяет два простых контура F1, F2 из ρ так, что int F1 ∩ int F2 = Ø и int F = int F1 U int F2;
9) любой составной контур F из ρ имеет внутренность, не является выпуклым и его можно представить в виде объединения двух простых контуров F1, F2 из ρ так, что int F1 ∩ int F2 = Ø и int F = int F1 U int F2.
Вершины простого 4-контура, принадлежащие его гиперболической (эллиптической) диагонали, называют гиперболическими (эллиптическими).
Каждый простой 4-контур с точностью до движения определен своим инвариантом ∆, -1< ∆< 0, равным простому отношению, в котором точка пересечения противоположных сторон делит его ребро, считая от эллиптической вершины. Пусть A (B) — эллиптическая (гиперболическая) вершина простого 4-контура F, N — точка пересечения противоположных сторон 4-контура F, а K — бесконечно удаленная точка прямой AB, т. е. точка пересечения прямой AB с абсолютом. Тогда ∆ = (AB NK) [2], [3].
Теорема 3 ([2], [3]). Если простые 4-контуры F1, F2, . . . , Fn, n N, с инвариантами соответственно ∆1, ∆2, . . . , ∆n образуют разбиение простого 4-контура F с инвариантом ∆, то |∆| = |∆1∆2...∆n|.
Теорема 4 ([2]). Простой конечный замкнутый n-контур плоскости H2 при четном n разбивает плоскость H2 на две связные части, при нечетном n ― не разбивает H2 на части.
Литература[править]
1. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Часть 1 : Тригонометрия / Л. Н. Ромакина. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2013. 244 с.
http://elibrary.ru/item.asp?id=25909102
2. Ромакина Л. Н. Геометрия гиперболической плоскости положительной кривизны : в 4 ч. Часть 2 : Преобразования и простые разбиения / Л. Н. Ромакина. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та. 2013. 276 с.
http://elibrary.ru/item.asp?id=25909249
3. Ромакина Л. Н. Конечные замкнутые 3(4)-контуры расширенной гиперболической плоскости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2010, 10(3). C. 14–26.
http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=isu&paperid=170&option_lang=rus
http://elibrary.ru/item.asp?id=16551684
4. Ромакина Л. Н. Конечные замкнутые 5-контуры расширенной гиперболической плоскости // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика, 2011, 11(1). C. 38–49.
http://www.mathnet.ru/links/b395e725f8c74d74adcdb4d68fe45e25/isu200.pdf
5. Ромакина Л. Н. Ковры на простых 4-контурах гиперболической плоскости положительной кривизны // Дискрет. матем,, 2014, 26(1). C. 118–132. DOI: 10.4213/dm1272
http://www.mathnet.ru/links/994d7689296f6eb75d35ceff492f9bc5/dm1272.pdf
6. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М. : Наука, 1969.