Ленгмюровская частота

Ленгмюровская частота или плазменная частота представляет резонанс тока смещения и тока проводимости при наложении на плазму переменных электрических полей, и вводится в ряде фундаментальных работ по физике плазмы Ленгмюровская частота определяется соотношением

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\omega _0} = \sqrt {\frac{1}{{{L_k}{\varepsilon _0}}}} } ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\varepsilon _0}}  — диэлектрическая проницаемость вакуума Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {L_k}}  — кинетическая индуктивность зарядов Когда на плазму наложено переменное электрическое поле с частотой Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega } , выполняется соотношение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon *(\omega ) = {\varepsilon _0}\left( {1 - \frac{{\omega _0^2}}{{{\omega ^2}}}} \right)}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon *(\omega )}  — диэлектрическая проницаемость плазмы. Ленгмюровская частота играет важную роль при рассмотрении свойств электромагнитных волн, распространяющихся в плазме. При распространении в плазме электромагнитных волн основную роль играют электроны, поскольку их масса значительно меньше, чем масса ионов. Уравнение движения электрона в электрическом поле имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\frac{{d{\bf{v}}}}{{dt}} = e{\bf{E}}} , (1)

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e}  — масса и заряд электрона, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\bf{E}} }  — напряженность электрического поля, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\bf{v}} }  — скорость движения заряда. В работе показано, что это уравнение может быть использовано и для описания движения электронов в горячей плазме. Поэтому оно может быть распространено и на этот случай. Используя выражение для плотности тока

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\bf{j}} = ne{\bf{v}}} , (2)

из (1) получаем плотность тока проводимости

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\bf{j}}_L} = \frac{{n{e^2}}}{m}\int {{{\bf{E}}_{}}dt} } . (3)

В соотношении (2) и (3) величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} представляет плотность электронов. Введя обозначение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {L_k} = \frac{m}{{n{e^2}}}} , (4)

находим

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\bf{j}}_L} = \frac{1}{{{L_k}}}\int {{{\bf{E}}_{}}dt} } . (5)

В данном случае величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {L_k}} представляет удельную кинетическую индуктивность носителей заряда. Её существование связано с тем, что заряд, имея массу, обладает инерционными свойствами. Для случая гармонических полей Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\bf{E}} = {{\bf{E}}_0}\sin \omega t} соотношение (5) запишется:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\bf{j}}_L} = - \frac{1}{{\omega {L_k}}}{{\bf{E}}_0}\cos \omega t} . (6)

Из соотношения (5) и (6) видно, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\bf{j}}_L}} представляет индуктивный ток, так как его фаза запаздывает по отношению к напряжённости электрического поля на угол Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\pi }{2}} . Если заряды находятся в вакууме, то при нахождении суммарного тока нужно учитывать и ток смещения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\bf{j}}_L} } . Видно, что этот ток носит ёмкостной характер, так как его фаза на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\pi }{2}} опережает фазу напряжённости электрического поля. Таким образом, суммарная плотность тока составит:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\bf{j}}_\sum } = {\varepsilon _0}\frac{{{\partial _{}}{\bf{E}}}}{{{\partial _{}}t}} + \frac{1}{{{L_k}}}\int {{{\bf{E}}_{}}dt} } ,

или

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {{\bf{j}}_\Sigma } = {\left( {\omega {\varepsilon _0} - \frac{1}{{\omega {L_k}}}} \right)_{}}{{\bf{E}}_0}\cos \omega t = {\varepsilon _0}\left( {1 - \frac{{\omega _0^2}}{{{\omega ^2}}}} \right)\omega {{\bf{E}}_0}\cos \omega t = {\varepsilon ^ * }(\omega )\omega {{\bf{E}}_0}\cos \omega t } . (7)

Таким образом, при наличии в плазме переменного электрического поля в ней одновременно текут два тока различной природы: ток смещения и ток проводимости. Эти токи конкурирующие, поскольку у них различная зависимость от частоты. Равенство нулю члена в скобках и означает резонанс этих токов на ленгмюровской частоте. Как нужно поступать, если известна величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varepsilon *(\omega )} , а необходимо вычислить полную удельную энергию, накопленную в плазме? Очевидно, при этом следует учесть не только энергию электрических полей

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {W_E} = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}E_0^2} ,

но и кинетическую энергию носителей зарядов

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {W_j} = \frac{1}{2}{L_k}j_0^2} . (8)

Для этого следует воспользоваться соотношение, приведенным в работе

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {W_\sum } = \frac{1}{2} \cdot \frac{{d\left( {\omega \varepsilon *(\omega )} \right)}}{{d\omega }}E_0^2} , (9)

откуда получаем

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {W_\Sigma } = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}E_0^2 + {\frac{1}{2}_{}}{\frac{1}{{{\omega ^2}{L_k}}}_{}}E_0^2 = \frac{1}{2}{\varepsilon _0}E_0^2 + \frac{1}{2}{L_k}j_0^2} .

Полученное соотношение, как и предполагалось, показывает, что удельная энергия состоит из потенциальной энергии электрических полей и кинетической энергии носителей зарядов. При рассмотрении любых сред конечной задачей является нахождение волнового уравнения. В данном случае эта задача уже практически решена. Уравнения Максвелла для этого случая имеют вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ro{t_{}}{\bf{E}} = - {\mu _0}\frac{{{\partial _{}}{\bf{H}}}}{{{\partial _{}}t}}} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ro{t_{}}{\bf{E}} = - {\mu _0}\frac{{{\partial _{}}{\bf{H}}}}{{{\partial _{}}t}} } , (10)

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\varepsilon _0}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\mu _0}}  — диэлектрическая и магнитная проницаемость вакуума. Из (10) получаем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ro{t_{}}ro{t_{}}{\bf{H}} + {\mu _0}{\varepsilon _0}\frac{{{\partial ^2}{\bf{H}}}}{{{\partial _{}}{t^2}}} + \frac{{{\mu _0}}}{{{L_k}}}{\bf{H}} = 0} . (11)

Для случая полей, не зависящих от времени, уравнение (11) переходит в уравнение Лондонов

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ro{t_{}}ro{t_{}}{\bf{H}} + \frac{{{\mu _0}}}{{{L_k}}}{\bf{H}} = 0 } ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\lambda _L}^2 = \frac{{{L_k}}}{{{\mu _0}}}}  — лондоновская глубина проникновения. Интересно рассмотреть случай, когда электромагнитная волна распространяется между двумя проводящими плоскостями, между которыми расположена плазма.

Решение системы уравнений (10) даёт возможность определить волновое число:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k_z^2 = \frac{{{\omega ^2}}}{{{c^2}}}\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2}}{{{\omega ^2}}}} \right)} (12)

и групповую, и фазовую скорости:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_g^2 = {c^2}\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2}}{{{\omega ^2}}}} \right)} , (13)

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_F^2 = \frac{{{c^2}}}{{\left( {1 - \frac{{\omega _\rho ^2}}{{{\omega ^2}}}} \right)}}} , (14)

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c = {\left( {\frac{1}{{{\mu _0}{\varepsilon _0}}}} \right)^{1/2}}}  — скорость света в вакууме. Если частота равна ленгмюровской частоте, то фазовая скорость электромагнитной волны равна бесконечности, что соответствует поперечному резонансу на легмюровской частоте. В каждый момент времени распределение полей и токов в такой линии однородно и не зависит от координаты, ток в плоскостях линии в направлении z отсутствует, а фазовая скорость равна бесконечности. Это означает, что вместо проводящих плоскостей могут быть использованы любые плоскости или устройства, ограничивающие плазму с двух сторон. Из соотношений (12-14) следует, что в точке Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \omega = {\omega _p}} имеет место поперечный резонанс с бесконечной добротностью. При наличии потерь в резонаторе будет иметь место затухание, в длинной линии в этом случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {k_z} \ne 0} , и в линии будет распространяться затухающая поперечная волна, направление распространения которой будет нормально направлению движения зарядов. До сих пор рассматривался физически нереализуемый случай, когда потери в плазме отсутствуют, что соответствует бесконечной добротности плазменного резонатора. Если потери имеются, причем совершенно не имеет значения, какими физическими процессами такие потери обусловлены, то добротность плазменного резонатора будет конечной. Для такого случая уравнения Максвелла будут иметь вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ro{t_{}}{\bf{E}} = - {\mu _0}\frac{{{\partial _{}}{\bf{H}}}}{{{\partial _{}}t}} } ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ro{t_{}}{\bf{H}} = {\sigma _{p.e{f_{}}}}{\bf{E}} + {\varepsilon _0}\frac{{{\partial _{}}{\bf{E}}}}{{{\partial _{}}t}} + \frac{1}{{{L_k}}}\int {{{\bf{E}}_{}}dt} } . (15)

Наличие потерь учитывается членом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\sigma _{p.ef}}\vec E} , причем, употребляя возле проводимости индекса Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle ef} , тем самым подчеркивается, что нас не интересует сам механизм потерь, а интересует только сам факт их существования. Величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\sigma _{ef}}} определяет добротность плазменного резонатора. Для измерения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\sigma _{ef}}} следует выбрать отрезок линии длиной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {z_0}} , величина которого значительно меньше длины волны в диссипативной плазме. Такой отрезок будет эквивалентен контуру с сосредоточенными параметрами:

$C={\varepsilon _{0}}{\frac {b{z_{0}}}{a}}$, (16)

$L={L_{k}}{\frac {a}{b{z_{0}}}}$, (17)

$G={\sigma _{\rho .ef}}{\frac {b{z_{0}}}{a}}$, (18)

где $a$ — расстояние между плоскостями линии, а $b$ — их ширина, $G$ — проводимость, подключенная параллельно $C$ и $L$ . Проводимость и добротность в таком контуре связаны соотношением:

$G={\frac {1}{Q_{\rho }}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}$,

откуда, учитывая (16 — 18), получаем:

${\sigma _{\rho .ef}}={\frac {1}{Q_{\rho }}}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}$. (19)

Измеряя добротность такого плазменного резонатора, можно определить

$ro{t_{}}{\bf {E}}=-{\mu _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}t}}$ $ro{t_{}}{\bf {H}}={\frac {1}{Q_{\rho }}}{{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}_{}}{\bf {E}}+{\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}$. (20)

Рассмотрим решение системы уравнений (20) в точке $\omega ={\omega _{p}}$ , при этом, поскольку

${\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt}=0$,

получаем

$ro{t_{}}{\bf {E}}=-{\mu _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {H}}}{{\partial _{}}t}}$

$ro{t_{}}{\bf {H}}={\frac {1}{Q_{P}}}{{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}_{}}{\bf {E}}$

Эти соотношения и определяют волновые процессы в точке резонанса, если в плазме имеются потери. Если потери в плазме, заполняющей линию малы, а к линии подключен сторонний источник тока, то можно положить:

$ro{t_{}}{\vec {E}}\cong 0$

${\frac {1}{Q_{p}}}{{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{L_{k}}}}_{}}{\bf {E}}+{\varepsilon _{0}}{\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {1}{L_{k}}}\int {{{\bf {E}}_{}}dt={{\bf {j}}_{for}}}$, (21)

где ${{\vec {j}}_{for}}$ — плотность сторонних токов. Проинтегрировав (21) по времени и разделив обе части на ${\varepsilon _{0}}$ , получим

$\omega _{p_{}}^{2}{\bf {E}}+{\frac {\omega _{p}}{Q_{p}}}\cdot {\frac {{\partial _{}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {{\partial ^{2}}{\bf {E}}}{{\partial _{}}{t^{2}}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {{\partial _{}}{{\bf {j}}_{for}}}{{\partial _{}}t}}$. (22)

Если (22) проинтегрировать по поверхности нормальной к вектору ${\bf {E}}$ и ввести электрический поток как ${P_{E}}=\int {{\bf {E}}d{\bf {S}}}$ получим:

$\omega _{p}^{2}{P_{E}}+{\frac {\omega _{p}}{Q_{p}}}\cdot {\frac {{\partial _{}}{P_{E}}}{{\partial _{}}t}}+{\frac {{\partial ^{2}}{P_{E}}}{{\partial _{}}{t^{2}}}}={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\cdot {\frac {{\partial _{}}{I_{for}}}{{\partial _{}}t}}$, (23)

где ${I_{for}}$ — сторонний ток. Уравнение (23) является уравнением гармонического осциллятора с правой частью, характерное для двухуровневых лазеров

Литература

• Гильденбург В. Б. Плазменный резонанс в лаборатории и верхней атмосфере // Соровский образовательный журнал. — 2000. — том 6. — № 12. — С. 86-92.
• Mende F. F. Кинетическая индуктивность зарядов и их роль в классической электродинамикеангл. = Kinetic Induktance Charges and its Role in Classical Electrodynamics. // Global Journal of Researches in Engineering: J General Engineering. — 2014. — том 3. — № 5. — С. 51-54.
• Менде Ф. Ф. Дубровин А. С. Особые свойства реактивных элементов и потоков заряженных частиц // Журнал инженерная физика. — 2016. — № 11. — С. 13-21.
• С. Гордюнин Идеальные проводники и кинетическая индуктивность // Квант. — М.: Бюро «Квантум», 1996. — № 4. — С. 40-41.