Метод вращений
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Метод вращений (или метод Гивенса) — численный метод, используемый для приведения матрицы к треугольному виду (например, в процессе решения систем линейных уравнений) или для ортогонального разложения матриц (QR-разложение).
Суть метода[править]
Метод основан на последовательном применении вращающих матриц Гивенса, которые зануляют определённые элементы матрицы. Эти матрицы представляют собой ортогональные матрицы, выполняющие поворот двумерных подпространств.
Основные шаги[править]
- Выбирается элемент (i, j), который нужно занулить.
- Определяются коэффициенты c и s (косинус и синус угла вращения) из соотношений: c=ajj2+aij2ajj,s=ajj2+aij2aij
- Конструируется матрица Гивенса G, которая выполняет вращение так, чтобы элемент aij обнулился.
- Умножается матрица A на G слева: A′=GA, что приводит к занулению выбранного элемента.
- Процесс повторяется, пока матрица не примет требуемый вид.
Применение[править]
- QR-разложение матриц.
- Решение систем линейных уравнений.
- Сингулярное разложение (SVD).
- Устойчивый метод для вычисления собственных значений.
Метод вращений считается предпочтительным методу отражений (метод Хаусхолдера) для разреженных матриц, так как он обеспечивает избирательное зануление их элементов, в то время как метод Хаусхолдера хорошо работает для масштабных обнулений.[1][2]
Источники[править]
- ↑ Голуб, 1999
- ↑ Панкратов Владимир Александрович, Тверская Елена Сергеевна Проведение семинарского занятия «Метод отражений Хаусхолдера» // Modern European Researches. — 2022. — Vol. 1. — № 1. — С. 101—109.
Литература[править]
- В. В. Воеводин, Ю. А. Кузнецов. Матрицы и вычисления. — М.: Наука, 1984.
- Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999.
- Самарский А. А., Гулин А. В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.
