Метод множителей Лагранжа
Метод множителей Лагранжа — это метод нахождения решения x1, x2, …, xn, минимизирующего или максимизирующего функцию f(x1, x2, …, xn) при ограничениях:
- g1(x1, x2, …, xn) = b1,
- g2(x1, x2, …, xn) = b2,
- …
- gm(x1, x2, …, xn) = bm.
Описание метода[править]
Суть метода множителей Лагранжа состоит в построении специальной функции Лагранжа для задачи условной оптимизации, нахождении частных производных и решении системы из этих производных и ограничений.
Задачи условной оптимизации:[править]
- задача условной минимизации;
- задача условной максимизации.
Задача условной минимизации[править]
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow \min}
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} g_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_1 \\ g_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_2 \\ ... \\ g_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_m \end{cases} }
Задача условной максимизации[править]
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow \max}
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} g_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_1 \\ g_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_2 \\ ... \\ g_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_m \end{cases} }
Алгоритм[править]
Входные данные: n, m, f(x1, x2, …, xn), g1(x1, x2, …, xn), b1, g2(x1, x2, …, xn), b2, …, gm(x1, x2, …, xn), bm.
1.Составляем функцию Лагранжа:
- Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)+\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\left[b_i-g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)\right]}
2.Находим частные производные функции Лагранжа по xj и по λi.
3.Решаем систему уравнений: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x_j}=0, \ \forall j \in N_n \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_i}=0, \ \forall i \in N_m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_j}-\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\frac{\partial g_i}{\partial x_j}=0, \ \forall j \in N_n \\ b_i-g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0, \ \forall i \in N_m \end{cases}}
4.Из стационарных точек, являющихся решением системы, выбираем оптимальное решение.
Выходные данные: x1, x2, …, xn.
Другие методы:[править]
Литература[править]
- Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В. И. Ермакова — М.: Высшая школа, 1987.