Метод множителей Лагранжа

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
§3.5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа // NWTU [16:51]
11 3 Метод множителей Лагранжа // Vi Opoytsev [18:48]

Метод множителей Лагранжа — это метод нахождения решения x1, x2, …, xn, минимизирующего или максимизирующего функцию f(x1, x2, …, xn) при ограничениях:

g1(x1, x2, …, xn) = b1,
g2(x1, x2, …, xn) = b2,
gm(x1, x2, …, xn) = bm.

Описание метода[править]

Суть метода множителей Лагранжа состоит в построении специальной функции Лагранжа для задачи условной оптимизации, нахождении частных производных и решении системы из этих производных и ограничений.

Задачи условной оптимизации:[править]

  • задача условной минимизации;
  • задача условной максимизации.

Задача условной минимизации[править]

[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow \min }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} g_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_1 \\ g_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_2 \\ ... \\ g_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_m \end{cases} }[/math]

Задача условной максимизации[править]

[math]\displaystyle{ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)\rightarrow \max }[/math]
[math]\displaystyle{ \begin{cases} g_1(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_1 \\ g_2(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_2 \\ ... \\ g_m(x_1,x_2,\ldots,x_n)=b_m \end{cases} }[/math]

Алгоритм[править]

Входные данные: n, m, f(x1, x2, …, xn), g1(x1, x2, …, xn), b1, g2(x1, x2, …, xn), b2, …, gm(x1, x2, …, xn), bm.

1.Составляем функцию Лагранжа:

[math]\displaystyle{ L(x_1,x_2,\ldots,x_n,\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)=f(x_1,x_2,\ldots,x_n)+\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\left[b_i-g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)\right] }[/math]

2.Находим частные производные функции Лагранжа по xj и по λi.

3.Решаем систему уравнений: [math]\displaystyle{ \begin{cases} \frac{\partial L}{\partial x_j}=0, \ \forall j \in N_n \\ \frac{\partial L}{\partial \lambda_i}=0, \ \forall i \in N_m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \frac{\partial f}{\partial x_j}-\sum\limits_{i=1}^m\lambda_i\frac{\partial g_i}{\partial x_j}=0, \ \forall j \in N_n \\ b_i-g_i(x_1,x_2,\ldots,x_n)=0, \ \forall i \in N_m \end{cases} }[/math]

4.Из стационарных точек, являющихся решением системы, выбираем оптимальное решение.

Выходные данные: x1, x2, …, xn.

Другие методы:[править]

Численные методы:[править]

Литература[править]

  • Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В. И. Ермакова — М.: Высшая школа, 1987.