Метод множителей Лагранжа
Перейти к навигации
Перейти к поиску
§3.5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа // NWTU [16:51]
11 3 Метод множителей Лагранжа // Vi Opoytsev [18:48]
Метод множителей Лагранжа — это метод нахождения решения x1, x2, …, xn, минимизирующего или максимизирующего функцию f(x1, x2, …, xn) при ограничениях:
- g1(x1, x2, …, xn) = b1,
- g2(x1, x2, …, xn) = b2,
- …
- gm(x1, x2, …, xn) = bm.
Описание метода[править]
Суть метода множителей Лагранжа состоит в построении специальной функции Лагранжа для задачи условной оптимизации, нахождении частных производных и решении системы из этих производных и ограничений.
Задачи условной оптимизации:[править]
- задача условной минимизации;
- задача условной максимизации.
Задача условной минимизации[править]
Задача условной максимизации[править]
Алгоритм[править]
Входные данные: n, m, f(x1, x2, …, xn), g1(x1, x2, …, xn), b1, g2(x1, x2, …, xn), b2, …, gm(x1, x2, …, xn), bm.
1.Составляем функцию Лагранжа:
![{\displaystyle L(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})+\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}\left[b_{i}-g_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/075f29c9dca179c20ecc39dfce45d94d85bb54e1)
2.Находим частные производные функции Лагранжа по xj и по λi.
3.Решаем систему уравнений:
4.Из стационарных точек, являющихся решением системы, выбираем оптимальное решение.
Выходные данные: x1, x2, …, xn.
Другие методы:[править]
Численные методы:[править]
- решение уравнений;
- решение систем уравнений;
- ортогонализация;
- решение дифференциальных уравнений;
- аппроксимация;
- интерполяция;
- численное интегрирование;
- нахождение экстремумов.
Литература[править]
- Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В. И. Ермакова — М.: Высшая школа, 1987.