Метод множителей Лагранжа

§3.5. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа // NWTU [16:51]

11 3 Метод множителей Лагранжа // Vi Opoytsev [18:48]

Метод множителей Лагранжа — это метод нахождения решения x₁, x₂, …, x_n, минимизирующего или максимизирующего функцию f(x₁, x₂, …, x_n) при ограничениях:

g₁(x₁, x₂, …, x_n) = b₁,

g₂(x₁, x₂, …, x_n) = b₂,

…

g_m(x₁, x₂, …, x_n) = b_m.

Описание метода

Суть метода множителей Лагранжа состоит в построении специальной функции Лагранжа для задачи условной оптимизации, нахождении частных производных и решении системы из этих производных и ограничений.

Задачи условной оптимизации:

• задача условной минимизации;
• задача условной максимизации.

Задача условной минимизации

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\rightarrow \min$

${\begin{cases}g_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=b_{1}\\g_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=b_{2}\\...\\g_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=b_{m}\end{cases}}$

Задача условной максимизации

$f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\rightarrow \max$

${\begin{cases}g_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=b_{1}\\g_{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=b_{2}\\...\\g_{m}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=b_{m}\end{cases}}$

Алгоритм

Входные данные: n, m, f(x₁, x₂, …, x_n), g₁(x₁, x₂, …, x_n), b₁, g₂(x₁, x₂, …, x_n), b₂, …, g_m(x₁, x₂, …, x_n), b_m.

1.Составляем функцию Лагранжа:

$L(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{m})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})+\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}\left[b_{i}-g_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\right]$

2.Находим частные производные функции Лагранжа по x_j и по λ_i.

3.Решаем систему уравнений: ${\begin{cases}{\frac {\partial L}{\partial x_{j}}}=0,\ \forall j\in N_{n}\\{\frac {\partial L}{\partial \lambda _{i}}}=0,\ \forall i\in N_{m}\end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}-\sum \limits _{i=1}^{m}\lambda _{i}{\frac {\partial g_{i}}{\partial x_{j}}}=0,\ \forall j\in N_{n}\\b_{i}-g_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=0,\ \forall i\in N_{m}\end{cases}}$

4.Из стационарных точек, являющихся решением системы, выбираем оптимальное решение.

Выходные данные: x₁, x₂, …, x_n.

Другие методы:

• метод золотого сечения;
• градиентный метод.

Численные методы:

• решение уравнений;
• решение систем уравнений;
• ортогонализация;
• решение дифференциальных уравнений;
• аппроксимация;
• интерполяция;
• численное интегрирование;
• нахождение экстремумов.

Литература

• Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В. И. Ермакова — М.: Высшая школа, 1987.