Метод обратной функции распределения
Экономичность алгоритмов метода Монте-Карло[править]
Алгоритмы численного (компьютерного) статистического (вероятностного) моделирования (или алгоритмы метода Монте-Карло) находят весьма широкое применение. В этих численных схемах ключевым элементом является многократное применение алгоритмов (формул) вида
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=\psi_{\xi}(\alpha_1,...,\alpha_k)}
для компьютерного моделирования выборочных значений Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_i} одномерных непрерывных случайных величин Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi\in (a,b);\;-\infty\leq a<b\leq +\infty} , имеющих заданные (выбранные) плотности распределения
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u);\;\;u\in (a,b)}
(последняя запись означает, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u)>0} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u\in (a,b)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u)=0} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u\notin (a,b)} ; здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_i\in U(0,1)} – стандартные случайные числа, т. е. выборочные значения случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha\in U(0,1)} , равномерно распределенной в интервале Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (0,1)} это выборочное значение реализуется на компьютере с помощью соответствующего генератора – специальной подпрограммы, именуемой в языках программирования как RAND или RANDOM).
Многократность применения алгоритмов (формул) вида для компьютерной реализации выборочных значений Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_i} обусловлена низкой скоростью сходимости (порядка Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1/\sqrt{n}} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n} – число обращений к этим формулам) алгоритмов метода Монте-Карло. Поэтому формулы (алгоритмы) вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=\psi_{\xi}(\alpha_1,...,\alpha_k)} следует выбирать максимально экономичными.
Метод обратной функции распределения и его обоснование[править]
Стандартным алгоритмом моделирования непрерывной случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} является метод обратной функции распределения, основанный на применении формулы
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=F_{\xi}^{-1}(\alpha_0);\;\;\alpha_0\in U(0,1);}
здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\xi}(x)={\bf P}\{\xi<x\}=\int_{-\infty}^x f_{\xi}(u)\,du} – функция распределения случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} , монотонно возрастающая (а значит, имеющая обратную функцию) на интервале распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} .
Для обоснования формулы метода обратной функции распределения следует показать, что случайные величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tilde{\xi}=F_{\xi}^{-1}(\alpha)} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha\in U(0,1)} , имеют одинаковую функцию распределения. Так как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\xi}^{-1}(\alpha)\in (a,b)} , то при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\leq a} получаем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\tilde{\xi}}(x)={\bf P}\{\tilde{\xi}<x\}\equiv 0=F_{\xi}(x)} , а при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\geq b} имеем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\tilde{\xi}}(x)\equiv 1=F_{\xi}(x)} . Из-за монотонности функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\xi}(x)} на интервале Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a<x<b} верны равенства: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\tilde{\xi}}(x)={\bf P}\{F_{\xi}^{-1}(\alpha)<x\}={\bf P}\{\alpha<F_{\xi}(x)\}=F_{\xi}(x)}
; в последнем случае использовано свойство стандартной случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\bf P}\{\alpha\in (c,d)\subseteq (0,1)\}=d-c} для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c=0} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d=F_{\xi}(x)} . Таким образом, доказано равенство Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\tilde{\xi}}(x)=F_{\xi}(x)} для всех Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in(-\infty,+\infty)} , а значит, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi=\tilde{\xi}=F^{-1}(\alpha);\;\alpha\in U(0,1)} .
Элементарные плотности распределения[править]
При заданной плотности распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u)} для получения вычислимой (т.е. представляющей собой композицию элементарных функций от стандартного случайного числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0} ) формулы метода обратной функции распределения нужно разрешить уравнение
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_a^{\xi_0}f_{\xi}(u)\,du=\alpha_0;\;\;\alpha_0\in U(0,1)}
относительно верхнего предела интегрирования Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0} в элементарных функциях. Если такое решение удается получить, то плотность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u)} называется элементарной.
ПРИМЕР 1. Рассмотрим случайную величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi^{(\lambda)}\in (0,+\infty)} , распределенную согласно плотности экспоненциального распределения
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi^{(\lambda)}}(u)=\lambda e^{-\lambda u};\;u>0,\lambda>0.}
Эта плотность является элементарной. Действительно, решая уравнение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_0^{\xi^{(\lambda)}_0}\lambda e^{-\lambda u}\,du=\alpha^{\prime}_0;\;\alpha^{\prime}_0\in U(0,1)} , последовательно получаем
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e^{-\lambda u}|_{0}^{\xi^{(\lambda)}_0}=\alpha^{\prime}_0;\;1-e^{-\lambda \xi^{(\lambda)}_0}=\alpha^{\prime}_0\;\;} и, наконец, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \;\;\xi^{(\lambda)}_0=-\frac{\ln(1-\alpha^{\prime}_0)}{\lambda}.}
Учитывая, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1-\alpha^{\prime}_0\in U(0,1)} последнюю формулу (из приведенных выше соображений экономичности вычислений) целесообразно использовать в виде Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi^{(\lambda)}_0=-\frac{\ln\alpha_0}{\lambda};\;\alpha_0\in U(0,1)} .
ПРИМЕР 2. Рассмотрим случайную величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi^{(0,1)}\in (-\infty,+\infty)} , распределенную согласно плотности стандартного гауссовского (нормального) распределения
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi^{(0,1)}}(u)=\frac{e^{-u^2/2}}{\sqrt{2\pi}};\;\;-\infty<u<+\infty.}
Эта плотность не является элементарной: в левой части уравнения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{-\infty}^{\xi^{(0,1)}_0}\frac{e^{-u^2/2}\,du}{\sqrt{2\pi}}=\alpha_0;\;\alpha_0\in U(0,1)} интеграл не берется аналитически (первообразная не может быть выражена в элементарных функциях).
ПРИМЕР 3. Рассмотрим случайную величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi^{(pol)}\in (0,1)} , распределенную согласно плотности, представляющей собой полином
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi^{(pol)}}(u)=\sum_{m=0}^M c_i u^i;\;\;0<u<1.}
В частных случаях плотность этого распределения является элементарной; например, при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_p=(p+1)} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c_i=0} для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i\neq p} получается плотность степенного распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi^{(p)}}(u)=(p+1)u^p;\;0<u<1} , которая является элементарной (несложно вывести соответствующую моделирующую формулу метода обратной функции распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0^{(p)}=\alpha_0^{1/(p+1)};\;\alpha_0\in U(0,1)} ). Однако в общем случае при решении уравнения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_{0}^{\xi^{(pol)}_0}\sum_{m=0}^M c_i u^i\,du=\alpha_0;\;\alpha_0\in U(0,1)} после применения формулы Ньютона–Лейбница получается соотношение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{m=0}^M\frac{ c_i \left[\xi_0^{(pol)}\right]^{i+1}}{i+1}=\alpha_0} , из которого далеко не всегда удается получить аналитическое выражение для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0^{(pol)}} .
Конструирование элементарных плотностей: технология вложенных замен[править]
Существует простой аналитический способ – технология вложенных замен – для получения неограниченного количества элементарных плотностей, которую можно описать следующим образом.
Рассмотрим случайную величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta\in (c,d)} с элементарной плотностью распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\eta}(v);\;c<v<d} ; это означает, что из уравнения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_c^{\eta_0}f_{\eta}(v)\,dv=\alpha_0;\;\alpha_0\in U(0,1)} можно получить вычислимое на компьютере выражение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta_0=\psi_{\eta}(\alpha_0)} (в виде композиции элементарных функций).
Возьмем взаимнооднозначное преобразование интервала Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} в интервал Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (c,d)} , задаваемое монотонной (возрастающей или убывающей) дифференцируемой функцией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(w)} ; причем и сама функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(w)} , и ее производная Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi^{\prime}(w)} , и обратная к ней функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi^{-1}(s)} могут быть представлены в виде композиций элементарных функций.
Рассмотрим новую случайную величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi\in(a,b)} , распределенную согласно плотности
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u)=f_{\eta}[\varphi(u)]\times|\varphi^{\prime}(u)|;\;\;u\in(a,b).}
При сделанных предположениях можно утверждать, что плотность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u)} является элементарной; соответствующая формула метода обратной функции распределения имеет вид
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=\varphi^{-1}[\psi_{\eta}(\alpha_0)];\;\;\alpha_0\in U(0,1).}
Действительно, для возрастающей функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(w)\uparrow} (для случая убывающей функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle varphi(w)\downarrow} выкладки аналогичны) с помощью правила замены переменных Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v=\varphi(u)} под знаком интеграла получаем, что уравнение вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_a^{\xi_0}f_{\xi}(u)\,du=\alpha_0;\;\alpha_0\in U(0,1)} последовательно преобразуется следующим образом:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int_a^{\xi_0}f_{\eta}[\varphi(u)]\varphi^{\prime}(u)\,du=\alpha_0;\;\;\int_{\varphi(a)}^{\varphi(\xi_0)}f_{\eta}(v)\,dv=\alpha_0;\;\;\varphi(\xi_0)=\psi_{\eta}(\alpha_0),}
что дает выписанную выше формулу для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0} .
ПРИМЕР 4. Рассмотрим случайную величину Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi^{(min)}\in (-\infty,+\infty)} , распределенную согласно плотности экстремального (точнее, минимального) значения, известной из теории порядковых статистик:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi^{(min)}}(u)=\exp(-e^{u})\times e^u;\;\;-\infty<u<+\infty.}
Эта элементарная плотность получается из рассмотренной в примере 1 плотности экспоненциального распределения для Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=1} с помощью замены Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(u)=e^u} ; поэтому соответствующая моделирующая формула имеет вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0^{(min)}=\ln(-\ln\alpha_0);\;\alpha_0\in U(0,1)} .
С помощью технологии вложенных (последовательных) замен можно получать неограниченное количество новых плотностей элементарных распределений, так как в описанном выше процессе в качестве исходной плотности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\eta}(v)} можно взять преобразованную плотность Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(v)} и т.д.
Трудоемкость формул метода обратной функции распределения. Компьютерная система NMPUD[править]
Отметим, что полученные с помощью описанной в предыдущем разделе технологии последовательных (вложенных) замен формулы метода обратной функции распределения могут оказаться трудоемкими, что ограничивает целесообразность применения этих новых формул в расчетах по методам Монте-Карло.
Например, выведенная в примере 4 формула Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0^{(min)}=\ln(-\ln\alpha_0)} для распределения минимального значения является в 1.7 раза более трудоемкой, чем исходная формула Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi^{(\lambda=1)}_0=-\ln\alpha_0;\;\alpha_0\in U(0,1)} из примера 1 для плотности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda=1} , из которой получалась и плотность, и моделирующая формула для распределения минимального значения с помощью преобразования Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi(u)=e^u} .
Последнее соотношение между трудоемкостями моделирующих формул получено с использованием доступной компьютерной системы NMPUD (Numerical Modelling of Probabilistic Univariate Distributions), предназначенной для исследования формул метода обратной функции распределения.
Для изучения того или иного примера плотности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u);\;u\in (a,b)} и моделирующей формулы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=\psi_{\xi}(\alpha_0)=F^{-1}_{\xi}(\alpha_0);\;\alpha_0\in U(0,1)} , пользователю системы NMPUD демонстрируется основная страница – см. рисунок.
Внизу страницы (в левой части) демонстрируется (если плотность взята из банка системы) или заносится (с помощью естественного языка ввода математических выражений) формула плотности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u)} и соответствующий интервал распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (a,b)} . При этом в центре страницы система строит график этой функции (кривая белого цвета).
Моделирующая формула (алгоритм) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=\psi_{\xi}(\alpha_0)} демонстрируется (или заносится) внизу в правой части основной страницы системы. Система с помощью многократного обращения к формуле строит гистограмму, которая отображается в центре страницы желтыми столбиками; этот процесс можно наблюдать поэтапно. Правильность моделирующей формулы Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=\psi_{\xi}(\alpha_0)} определяется визуальной близостью построенной гистограммы и графика плотности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi}(u)} .
Также вычисляется и показывается с правой стороны экрана (крупно, зеленым цветом) среднее время одного обращения к формуле Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=\psi_{\xi}(\alpha_0)} в наносекундах.
Отметим, что компьютерная система NMPUD является удобным инструментом для того, чтобы определить, какой вклад вносят основные математические операции и функции в трудоемкость формул метода обратной функции распределения. В ходе экспериментов выяснилось, что компьютерные затраты на сложение, умножение, деление и взятие квадратного корня невелики и примерно одинаковы; "умеренно большими" можно назвать затраты на вычисление тригонометрических функций (и обратных к ним) и логарифмов; "экстремально большими" являются затраты на вычисление степенной и показательной функций.
Модификации метода обратной функции распределения. Альтернативные экономичные методы с уравниванием вероятностей[править]
В ряде научных источников упоминается метод обратной функции распределения для дискретных случайных величин с распределением
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\bf P}\{\xi=x_i\}=p_i;\;p_i>0;\;\sum_{i=1}^M p_i=1;\;i=1,...,M;\;M\leq\infty;}
при этом имеется в виду стандартный алгоритм моделирования Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} , в котором принимается значение Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=x_m} , где номер Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m} получается вычитанием из реализованного на компьютере стандартного случайного числа Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0\in U(0,1)} сумм вероятностей Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{j=1}^{m^{\prime}} p_j} до первого получения такого номера Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m^{\prime}=m} , для которого Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0-\sum_{j=1}^{m} p_j<0} .
Отметим, что:
– название «метод обратной функции распределения» оправдано только для случая Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_1<x_2<...<x_{M-1}<x_M} (последнее условие существенно ограничивает сферу применения стандартного метода моделирования дискретной случайной величины);
– вместо обратной функции в записи вида Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=F^{-1}_{\xi}(\alpha_0);\;\alpha_0\in U(0,1)} для дискретной случайной величины нужно использовать запись Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=G(\alpha_0)=\inf\{y:\alpha_0<F_{\xi}(y)\};\;\alpha_0\in U(0,1)} ;
– запись Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0=G(\alpha_0)} лишь затушевывает простую идеологию приведенного выше стандартного алгоритма.
Таким образом, на практике следует различать стандартные алгоритмы для моделирования дискретных и непрерывных случайных величин. Несложно построить аналоги (или комбинации) этих алгоритмов и для смешанных "дискретно-непрерывных" случайных величин и/или для непрерывных случайных величин, распределенных на нескольких отстоящих друг от друга интервалах, но эти случаи являются крайне редкими, "экзотическими".
Отметим также нецелесообразность предлагаемого в некоторых статьях и книгах, описывающих различные применения методов Монте-Карло, табулирования функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_{\xi}^{-1}(w)} (это фактически соответствует рассмотрению вместо непрерывной случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi} "близкой" к ней дискретной случайной величины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \tilde{\xi}} с большим числом значений) и использования соответствующих алгоритмов для полученного дискретного распределения: помимо того, что здесь происходит искажение моделируемого распределения, моделирующие численные схемы получаются трудоемкими.
В заключение упомянем – в качестве альтернативных трудоемким формулам метода обратной функции распределения – разработанные недавно алгоритмы метода исключения с уравниванием вероятностей – двусторонний алгоритм с кусочно-постоянными мажорантой и минорантой и новый, модифицированный зиккурат-метод, которые имеют относительно малые, одинаковые для большого класса распределений (в том числе, для распределений с элементарными плотностями) времена получения выборочных значений; соответствующие описания и коды приведены в библиотеке компьютерной системы PrEMA (Probability Equalization Modelling Algorithms).
Отметим также, что система PrEMA включает в себя диалоговую систему, позволяющую наглядно (с помощью соответствующих диаграмм) сравнивать затраты на использование формул метода обратной функции распределения и алгоритмов с уравниванием вероятностей. Например, расчеты, проведенные с помощью системы PrEMA, показали, что компьютерные затраты на использование широко применимой формулы метода обратной функции распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \xi_0^{(p)}=\alpha_0^{1/(p+1)};\;\alpha_0\in U(0,1)} для моделирования степенного распределения Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f_{\xi^{(p)}}(u)=(p+1)u^p;\;0<u<1} (см. выше пример 3) в 2.5 раза больше затрат на применение двустороннего алгоритма с кусочно-постоянными мажорантой и минорантой и примерно в 3 раза больше затрат на применение зиккурат-метода для того же распределения.
См. также[править]
Литература[править]
1. Metropolis N., Ulam S. The Monte Carlo method // Journal of American Statistical Association. 1949. V. 44. No 249. P. 335–341.
2. Бусленко Н. П., Голенко Д. И., Соболь И. М., Срагович В. Г., Шрейдер Ю. А. Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло). М.: Физматгиз, 1962.
3. Hammmersley J. M., Handscomb D. C. Monte Carlo Methods. New York: Jonh Wiley and Sons, 1964.
4. Spanier J., Gelbard E. Monte Carlo Principles and Newtron Transport Problems. Addison–Wesley, Reading, 1969.
5. Соболь И. М. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973.
6. Михайлов Г. А. Некоторые вопросы теории методов Монте-Карло. Новосибирск: Наука, 1974.
7. Ермаков С. М. Метод Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1974.
8. Марчук Г. И., Михайлов Г. А., Назаралиев М. А., Дарбинян Р. А., Каргин Б. А., Елепов Б. С. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука, 1976.
9. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статистическое моделирование. М.: Наука, 1982.
10. Kalos M. H., Whitlock P. A. Monte Carlo Methods. New York: Jonh Wiley & Sons, 1986.
11. Михайлов Г. А. Оптимизация весовых методов Монте-Карло. М.: Наука, 1988.
12. Сабельфельд К. К. Методы Монте-Карло в краевых задачах. М.: Наука, 1989.
13. Михайлов Г. А., Войтишек А. В. Численное статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Академия, 2006.
14. Войтишек А. В. Лекции по численным методам Монте-Карло. Новосибирск: НГУ, 2018.
15. Михайлов Г. А., Войтишек А. В. Статистическое моделирование. Методы Монте-Карло. М.: Юрайт, 2025.