Парадокс Майкла Кэррола
Парадокс Майкла Кэррола возникает при рассмотрении движения жесткого стержня по направляющим окружностям. При одном способе рассмотрения момент импульса такого стержня остается постоянным, а при другом способе рассмотрения он изменяется.
Назван в честь Майкла М. Кэррола, первым опубликовавшим его в 1984 году.
Описание[править]
Возьмем две окружности радиусом r1 и r2, расположенные концентрически друг относительно друга (как окружности на циферблате стенных часов, отмечающие концы часовой и минутной стрелок). Теперь возьмем однородный жесткий тяжелый стержень длиной l = | r2 — r1 |, ограниченный этими окружностями так, что один конец стержня находится на внутренней окружности, а другой — на внешней окружности (в любом положении стержень ориентируется вдоль стрелок часов). Движение стрежня вдоль этих окружностей (действующих как направляющие) осуществляется без трения. Стержень удерживается в трехчасовой позиции так, чтобы он был горизонтальным, а затем отпускается.
Теперь рассмотрим момент импульса стержня.
- 1. После отпускания стержень падает по окружности. Когда он доходит до вертикальной шестичасовой позиции, его потенциальная энергия становится нулевой. А поскольку движение осуществляется без трения, то вся его потенциальная энергия превращается при этом в кинетическую энергию. Следовательно, он обладает моментом импульса.
- 2. Поскольку стержень движется без трения, то реакция опоры со стороны окружностей r1 и r2 направлена только вдоль стержня (то есть в данном случае нет компоненты силы реакции опоры, перпендикулярной стержню). То есть, момент импульса стержня при движении по направляющим окружностям должен оставаться постоянным. А поскольку стержень стартовал с нулевого момента импульса, то он должен сохранять его в течение всего движения.
Уточнение[править]
Момент импульса определяеься как произведение радиус-вектора (совпадающего с радиусом окружности, по которой вращается тело) на импульс тела:
L = r × p
Момент импульса является векторной величиной и направлен под прямым углом к векторам r и p. В нашем случае вектор p совпадает по направлению с вектором F, то есть с вектором силы, под действием которой стержень движется по направляющим окружностям с ускорением. p = F × t, где t — время, в которое стержень имеет значение импульса p. При постоянном импульсе (равномерное движение по окружности) эта формула не применима, поскольку при этом F = 0. В таком случае применима формула p = К / v, где К — кинетическая энергия тела в момент времени t, а v — скорость тела в момент времени t.
Решение[править]
Данный парадокс является классическим софизмом. Найти ошибку в нем может любой школьник, умеющий раскладывать на составляющие силы, действующие на обычный маятник. В данном случае не учитывается сила тяжести, под действием которой стержень давит на направляющие окружности и соскальзывает по ним («падает», как в любом движении по наклонной поверхности без трения, поскольку давление тела на опору при этом не уравновешивается полностью реакцией опоры). Сложение этой силы с силой реакции опоры (направленной вдоль стержня) и дает силу, под действием которой стержень движется по направляющим с ускорением. В начале движения стержня сила тяжести совпадает с данной силой.
В первом способе рассмотрения все эти силы не учитываются, и движение стержня рассматривается только с точки зрения превращения потенциальной энергии в кинетическую, что совершенно правильно позволяет говорить о наличии у него возрастающего момента импульса. Но во втором способе допускается ошибка — исключается из рассмотрения сила тяжести, что позволяет говорить о постоянстве момента импульса стержня при движении по направляющим окружностям (поскольку отсутствует сила, заставляющая стержень двигаться по направляющим окружностям с ускорением). А поскольку в начале движения стержень обладал нулевым моментом импульса, то получается, что таковым он остается на протяжении всего движения.