Теорема Штольца

Теорема Штольца (также известная как теорема Штольца–Цезаро) — результат в математическом анализе, служащий аналогом правила Лопиталя для последовательностей. Она позволяет вычислять пределы дробей при определённых условиях.

Формулировка

Пусть $\{a_{n}\}$ и $\{b_{n}\}$ — две числовые последовательности, причём:

• $b_{n}$ — монотонная и строго возрастающая;
• $\lim _{n\to \infty }b_{n}=\infty$;
• $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=L$ — конечен.

Тогда: $\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}=L.$

Пример

Пусть $a_{n}=\ln n$, $b_{n}=n$. Тогда: ${\frac {a_{n+1}-a_{n}}{b_{n+1}-b_{n}}}=\ln(n+1)-\ln(n)=\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)\to 0.$

Следовательно, по теореме Штольца: ${\frac {\ln n}{n}}\to 0.$

Замечания

• Теорема применима и в случае, если $b_{n}$ убывает, при аккуратном учёте знаков.
• Существуют варианты теоремы для частных случаев, например, если $b_{n}$ ограничена снизу, но не обязательно стремится к бесконечности.

История

Теорема была впервые опубликована немецким математиком Отто Штольцем в 1885 году. Она развивает идеи Чезаро об усреднении последовательностей и пределов. По некоторым сведениям, Штольц разработал идеи теоремы, анализируя колебания орбит спутников Юпитера. Эти вычисления ошибочно приписывались Гауссу в переписке с Бернулли.

Альтернативные версии и приписывание

В начале XX века теорема иногда ошибочно приписывалась Жозефу Луи Лагранжу, особенно после обнаружения неопубликованных черновиков в 1935 году в Туринской академии наук. Однако последующий анализ показал, что рукописи содержат лишь приближённые рассуждения, не имеющие строгой формулировки. Доказано, что они содержали лишь «концептуальное приближение» к теореме Штольца, а не её полную версию.

См. также

• Правило Лопиталя
• Последовательность (математика)
• Ряд (математика)

Литература

• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981.
• Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. — М.: Наука, 1981.
• G. H. Hardy. A Course of Pure Mathematics. — Cambridge University Press, 1908.