Теорема Штольца

Теорема Штольца (также известная как теорема Штольца–Цезаро) — результат в математическом анализе, служащий аналогом правила Лопиталя для последовательностей. Она позволяет вычислять пределы дробей при определённых условиях.

Формулировка

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{a_n\}} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{b_n\}} — две числовые последовательности, причём:

• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_n} — монотонная и строго возрастающая;
• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = \infty} ;
• Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L} — конечен.

Тогда: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L. }

Пример

Пусть Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n = \ln n} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_n = n} . Тогда: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \ln(n+1) - \ln(n) = \ln\left(1 + \frac{1}{n}\right) \to 0. }

Следовательно, по теореме Штольца: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\ln n}{n} \to 0. }

Замечания

• Теорема применима и в случае, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_n} убывает, при аккуратном учёте знаков.
• Существуют варианты теоремы для частных случаев, например, если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_n} ограничена снизу, но не обязательно стремится к бесконечности.

История

Теорема была впервые опубликована немецким математиком Отто Штольцем в 1885 году. Она развивает идеи Чезаро об усреднении последовательностей и пределов. По некоторым сведениям, Штольц разработал идеи теоремы, анализируя колебания орбит спутников Юпитера. Эти вычисления ошибочно приписывались Гауссу в переписке с Бернулли.

Альтернативные версии и приписывание

В начале XX века теорема иногда ошибочно приписывалась Жозефу Луи Лагранжу, особенно после обнаружения неопубликованных черновиков в 1935 году в Туринской академии наук. Однако последующий анализ показал, что рукописи содержат лишь приближённые рассуждения, не имеющие строгой формулировки. Доказано, что они содержали лишь «концептуальное приближение» к теореме Штольца, а не её полную версию.

См. также

• Правило Лопиталя
• Последовательность (математика)
• Ряд (математика)

Литература

• А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1981.
• Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. — М.: Наука, 1981.
• G. H. Hardy. A Course of Pure Mathematics. — Cambridge University Press, 1908.