Участник:Aleksander/Основное уравнение квантовой теории гравитации

Основное уравнение квантовой теории гравитации можно получить, исходя из уравнений Эйнштейна.

$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

где $G_{\mu \nu }=R_{\mu \nu }-{R \over 2}g_{\mu \nu }$ — тензор Эйнштейна, который объединяет тензор Риччи, скалярную кривизну и метрический тензор, $R_{\mu \nu }$ — тензор Риччи, получающийся из тензора кривизны пространства-времени $R_{abcd}$ посредством свёртки его по паре индексов, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R}  — скалярная кривизна, то есть свёрнутый тензор Риччи, $g_{\mu \nu }$ — метрический тензор, $\Lambda$ — космологическая постоянная, а $T_{\mu \nu }$ представляет собой тензор энергии-импульса материи, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi}  — число пи, $c$ — скорость света в вакууме, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G}  — гравитационная постоянная Ньютона).

При выводе своих уравнений Эйнштейн предположил, что физическое пространство-время является римановым, т.е. искривлённым. Малая область риманова пространства близка к плоскому пространству.

Для любого тензорного поля $N_{\mu \nu ...}$ величину $N_{\mu \nu ...}{\sqrt {-g}}$ можно назвать тензорной плотностью, где $g$ — определитель метрического тензора $g_{\mu \nu }$. Когда область интегрирования мала, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \int N_{\mu\nu...}\sqrt{-g}\,d^4x} является тензором. Если область интегрирования не мала, то этот интеграл не будет тензором, так как представляет собой сумму тензоров, заданных в разных точках и, следовательно, не преобразуется по какому-либо простому закону при преобразованиях координат . Здесь рассматриваются только малые области. Вышесказанное справедливо и при интегрировании по трёхмерной гиперповерхности Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S^{\nu}} .

Таким образом, уравнения Эйнштейна для малой области псевдориманова пространства-времени можно проинтегрировать по трёхмерной гиперповерхности $S^{\nu }$. Имеем

${\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }={2G \over c^{4}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$

Так как интегрируемая область пространства-времени мала, получаем тензорное уравнение

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}P_{\mu }$

где $P_{\mu }={\frac {1}{c}}\int T_{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — 4-импульс, $R_{\mu }={\frac {1}{4\pi }}\int \left(G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }\right){\sqrt {-g}}\,dS^{\nu }$ — радиус кривизны малой области пространства-времени.

Полученное тензорное уравнение можно переписать в другом виде. Так как $P_{\mu }=mc\,U_{\mu }$ то

$R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}mc\,U_{\mu }=r_{g}\,U_{\mu }$

где $r_{g}$ — радиус Шварцшильда, $U_{\mu }$ — 4-скорость, $m$ — гравитационная масса. Эта запись раскрывает физический смысл величин Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R_{\mu}} как компонент гравитационного радиуса $r_{g}$.

В малой области пространство-время практически плоское и это уравнение можно написать в операторном виде

${\hat {R}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}{\hat {P}}_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}(-i\hbar ){\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}=-2i\,\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}$

или

Основное уравнение квантовой теории гравитации $-2i\ell _{P}^{2}{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}|\Psi (x_{\mu })\rangle ={\hat {R}}_{\mu }|\Psi (x_{\mu })\rangle$

где $\ell _{P}=(G\hbar /c^{3})^{1/2}$ - фундаментальная планковская длина; $\hbar$ - редуцированная постоянная Планка.

Примечательно, что полученное уравнение по своей структуре аналогично основному уравнению квантовой механики:

Зависящее от времени уравнение Шредингера $i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\Psi (t)\rangle ={\hat {H}}(p,q)|\Psi (t)\rangle ,$

где ${\hat {H}}$ — гамильтониан, $q$ — координаты, $p_{r}={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial q_{r}}}$ — импульсы.

Это неудивительно, так как гамильтониан и радиус кривизны (гравитационный радиус) связаны посредством уравнения Эйнштейна.

Коммутатор операторов ${\hat {R}}_{\mu }$ и ${\hat {x}}_{\mu }$ равен

$[{\hat {R}}_{\mu },{\hat {x}}_{\mu }]=-2i\ell _{P}^{2}$

Откуда следуют соотношения неопределённостей

$\Delta R_{\mu }\Delta x_{\mu }\geq \ell _{P}^{2}$

Подставляя сюда значения $R_{\mu }={\frac {2G}{c^{3}}}m\,c\,U_{\mu }$ и $\ell _{P}^{2}={\frac {\hbar \,G}{c^{3}}}$ и сокращая справа и слева одинаковые константы, получаем соотношения неопределённостей Гейзенберга.

$\Delta P_{\mu }\Delta x_{\mu }=\Delta (mc\,U_{\mu })\Delta x_{\mu }\geq {\frac {\hbar }{2}}$

В частном случае статического сферически симметричного поля и статического распределения материи имеем $U_{0}=1,U_{i}=0\,(i=1,2,3)$ и остается

$\Delta R_{0}\Delta x_{0}=\Delta r_{g}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}$

где $r_{g}$ - радиус Шварцшильда, $r$ - радиальная координата. Здесь $R_{0}=r_{g}$, а $x_{0}=c\,t=r$, т.к. на планковском уровне материя движется со скоростью света.

Последнее соотношение неопределённостей позволяет делать некоторые оценки уравнений общей теории относительности применительно к планковскому масштабу. Например, выражение для инвариантного интервала $dS$ в решении Шварцшильда имеет вид

$dS^{2}=\left(1-{\frac {r_{g}}{r}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{r_{g}}/{r}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Подставляя сюда, согласно соотношениям неопределённостей, вместо $r_{g}$ величину $r_{g}\approx \ell _{P}^{2}/r$ получим

$dS^{2}\approx \left(1-{\frac {\ell _{P}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\ell _{P}^{2}}/{r^{2}}}}-r^{2}(d\Omega ^{2}+\sin ^{2}\Omega d\varphi ^{2})$

Видно, что на планковском уровне $r=\ell _{P}$ инвариантный интервал $dS$ ограничен снизу планковской длиной, на этом масштабе появляется деление на ноль, что означает образование реальных и виртуальных планковских черных дыр.

Аналогичные оценки можно выполнить и для других уравнений общей теории относительности.

Выписанные выше соотношения неопределённостей справедливы для любых гравитационных полей.

Образование вакуума, состоящего из виртуальных планковских чёрных дыр (квантовой пены, основы ткани Вселенной), энергетически наиболее выгодно в трёхмерном пространстве, что, возможно, предопределило 4-мерность наблюдаемого пространства-времени.