Участник:Logic-samara/Предел (пример)

Предел последовательности

Пределом числовой последовательности {x_n} называется число A, в ε-окрестность которого попадают все члены последовательности с номером больше номера N(ε).

Виды пределов

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in N,{\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow |x_{n}-A|<\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in N,{\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow |x_{n}|<\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in N,{\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow x_{n}>\varepsilon$

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }x_{n}=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists N(\varepsilon )\in N,{\text{ т.ч. }}\forall n>N\Rightarrow -x_{n}>\varepsilon$

Предел функции

Пределом функции f{x} в точке a называется число A, в ε-окрестность которого попадают все значения функции в точках из δ-окрестности точки a.

Виды пределов

$\lim _{x\to a}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to a}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x-a|<\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to 0}f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ |x|<\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to \infty }f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ x>\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=A\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow |f(x)-A|<\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=0\Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow |f(x)|<\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow f(x)>\varepsilon$

$\lim _{x\to -\infty }f(x)=-\infty \Leftrightarrow \forall \varepsilon >0\ \exists \delta (\varepsilon )>0{\text{ т.ч. }}\forall x\in R,\ -x>\delta \Rightarrow -f(x)>\varepsilon$

Пример

$Mo=x_{i_{Mo}},\ p_{i_{Mo}}=\max \limits _{1\leq i\leq n}\left\{p_{i}\right\}$