BPP
Класс сложности BPP (Bounded-Probability Polynomial-time) состоит из всех языков L для которых существует полиномиальная вероятностная машина Тьюринга M, такая что:
если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\in L\,} , то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Pr\{ M(x)=1\} \geq 2/3\,} ,
если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\notin L\,} , то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle Pr\{ M(x)=1\} \leq 1/3\,} .
Константа 1/3, ограничивающая вероятность ошибки, выбрана произвольно. Её можно заменить любой другой константой, меньшей 1/2. В самом деле, следующий простой прием позволяет добиться, чтобы вероятность правильного ответа была сколь угодно близка к 1. Для этого машина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\,} запускается Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,} раз на данном входе Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\,} , всякий раз с заново и независимо выбранным содержимым случайной ленты. Слово Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x\,} принимается или отвергается в зависимости от того, каких исходов, 0 или 1, больше среди Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,} ответов машины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\,} . Легко показать, что вероятность ошибки убывает экспоненциально как функция от Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m\,} (при условии, что исходная вероятность ошибки машины Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle M\,} ограничена произвольной константой, меньшей 1/2).
Варианты определения[править]
Можно показать, что будут эквивалентны также следующие определения класса BPP:
«Строгое» определение[править]
Класс сложности BPP состоит из всех языков L для которых существует полиномиальная вероятностная машина Тьюринга M, и полином p(*), такие что:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in L \Rightarrow P[M(x)=1]\geq 1 - 2^{-p(|x|)}}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \notin L \Rightarrow P[M(x)=0]\geq 1 - 2^{-p(|x|)}}
«Свободное» определение[править]
Класс сложности BPP состоит из всех языков L для которых существует
- полиномиально вычислимая функция Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f:N\mapsto [0,1]} ,
- полиномиальная вероятностная машина Тьюринга M,
- полином p(*),
такие что:
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \in L \Rightarrow P[M(x)=1]\geq f(|x|) + \frac{1}{p(|x|)}}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x \notin L \Rightarrow P[M(x)=1]< f(|x|) - \frac{1}{p(|x|)}}
Соотношения между классами[править]
Очевидно, что PНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \subseteq\,} BPP. Является ли это включение строгим — открытый вопрос теории сложности вычислений. Отметим также, что на данный момент о соотношении классов BPP и NP не известно ничего, кроме очевидного включения RPНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \subseteq\,} NPНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cap\,} BPP.
Ссылки[править]
- Курс Н. П. Варновского Понятия теории сложности вычислений