Пространство (многомерная модель)

← другие значения

Пространство (многомерная модель) — наглядная модель многомерного пространства, отображающая свойства пересечений многомерных пространств в трактовке Климца А.П.

Модель раскрывает некоторые необычные стороны многомерных пространств.

Философия многомерного пространства

Любой процесс измерения представляет собой, по сути, внешнее отношение одних измеряемых тел или процессов с другими материальными телами или процессами, выступающими в качестве средств измерения (часы, линейки, любые приборы и т. п.).

Внешний характер пространственных измерений наложил отпечаток на формирование соответствующих естественно-математических понятий. В частности, это выразилось в представлении о трехмерности пространства. Реальные вещи, тела, процессы, с которыми сталкивается человек в практической деятельности, объемны. По существу, объемность (или емкость) и представляет собой реальную пространственную протяженность. Пространство не может быть чем-то иным, нежели совокупностью кубических метров. Однако выражение реального объема именно в кубических метрах (сантиметрах, километрах и т. п.) явилось результатом длительного развития прежде всего хозяйственной, но вместе с ней и научной практики. Потребность в измерении посевных площадей, расстояний, на которые перегонялись стада, совершались перекочевки или уходили охотники, собственно говоря, и привела к тому, что исходной основой пространственных измерений явилась длина и ее абстрактное выражение — линия.

Объем в геометрии Евклида трёхмерен потому, что в его основе лежит линия, взятая одномерно; линии образуют двухмерную плоскость, а из плоскостей строится трехмерный объем. Хотя такой путь оптимален и в наибольшей степени удовлетворяет потребности практики, он все же не является единственно возможным. Данные археологии подтверждают, что единицы измерения объема (емкости) исторически являются столь же древними, как и естественные единицы измерения времени и длины (день, месяц, ступня и т. п.). Можно предположить, что если бы практические потребности первобытных людей выдвинули на передний план не измерение площадей и расстояний, а измерение объемов, то развитие геометрической науки могло бы пойти по пути, отличному от проложенного Евклидом. Говорят, к примеру: такая-то комната (пещера, храм, дом, зал и т. д.) больше, чем другая; новый прибор (машина) более компактен и занимает меньше места (меньшее пространство), чем прежняя модель. При всей приблизительности приведенных сравнений реальная пространственная объемность выражена здесь в одном измерении: в отношении «больше — меньше». Если на основе подобных или аналогичных сравнений выработать единицы измерения одномерных объемов и положить их в основу некоторой воображаемой геометрии, то понятие линии в ней могло бы быть совершенно иным: например, выраженным в трех измерениях, скажем как корень третьей степени из единицы одномерного объема. Хотя подобное представление на первый взгляд и кажется вычурным, в действительности в нем нет ничего необычного. При измерении линейкой поверхности стола одномерная линия получается не при помощи операций с двумя объемами (поскольку объемны и линейка, и стол, поверхность которого как сторона реальной объемности подвергается измерению)? Полученная линия и измеренная длина, а также их численные величины и являются результатом определенного сопоставления реальных объемных предметов.

Ни двух-, ни трех-, ни четырехмерность, ни какая-либо другая многомерность не тождественны реальной протяженности, а отображают определенные аспекты тех объективных отношений, в которых она может находиться. Материальный мир — это и мир Евклида, и мир Лобачевского, и мир Римана, и мир Минковского, ибо в понятиях любой из геометрий, связанных с именами этих выдающихся ученых, можно описать и отразить реальную пространственную протяженность как всеобщий атрибут материальной действительности.

Модель многомерного пространства

В трехмерном пространстве справедлива теорема Пифагора

$r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$

где $r$ — расстояние между любыми двумя точками пространства. Известно, что все содержание эвклидовой геометрии можно вывести из соотношения $(1)$. Действительно, например, в геометрии Декарта теорема Пифагора является аксиомой.

Рассмотрим множество, состоящее из трех точек (рис.Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} ). Здесь точки являются символами, элементами множества. Вместо трех точек можно нарисовать, например, трех крокодилов.

Поставим в соответствие множеству размерностей $3$-мерного пространства множество точек. Тогда $3$-мерное пространство соответствует множеству из трех точек, $2$-мерное — множеству из двух точек, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} -мерное — множеству из одной точки, $0$-мерное — пустому множеству точек.

Рассмотрим пересечения подмножеств точек в множестве из трех точек (рис.$2$)

Напомним, что пересечением называется подмножество, принадлежащее обоим пересекающимся подмножествам. На рис.Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2} пересекаются подмножества, каждое из которых состоит из двух точек. Как видно, подмножества из двух точек могут пересекаться по одной точке. В Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3} -мерном пространстве это соответствует пересечению двух Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2} -мерных плоскостей, пересекающихся по Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} -мерной прямой.

Рассмотрим рис.Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3} . Здесь пересечение двух подмножеств из двух точек и одной точки происходит по пустому множеству точек.

В Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3} -мерном пространстве это соответствует пересечению Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} -мерной прямой и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2} -мерной плоскости в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} -мерной точке.

Аналогично можно рассмотреть пересечения в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2} -мерном пространстве и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1} -мерном пространстве. Соответствие между множеством точек и множеством размерностей будет полное.

Рассмотрим теперь множество из четырех точек, что соответствует Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4} -мерному пространству (рис.Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4} )

Как видно, в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4} -мерном пространстве две Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 2} -мерные плоскости могут пересекаться по Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 0} -мерной точке, что невозможно сделать в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3} -мерном пространстве. Это можно представить наглядно, если спроецировать Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4} -гранный угол на плоскость аналогично проецированию Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3} -гранного угла на плоскость и вообразить, что все углы в вершине Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4} -гранника являются прямыми. В таком Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4} -граннике любые две противоположные грани (координатные плоскости) пересекаются в одной точке. Никто ведь не удивляется тому, что в Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3} -мерном пространстве Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 3} координатные плоскости пересекаются в одной $0$-мерной точке.

Из рис.$2$ и рис.$3$ становится понятно, почему психологически нельзя представить в $3$-мерном пространстве пересечение двух плоскостей в одной точке. Мы живем в пространстве $3$-х измерений и выйти в $4$-ое измерение не можем. Любые комбинации пересечений подпространств в $3$-ом пространстве не приведут к пересечению двух плоскостей в одной точке (см. рис.2). Ведь они должны пересечься по пустому множеству точек, что невозможно.

Вообще, если рассмотреть множество из $n$ точек, что соответствует $n$-мерному пространству, то легко обнаружить, что выполняется следующее соотношение

$l\geq m+k-n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$

где $l$ — подмножество точек в пересечении подмножеств $m$ и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle k} ; Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n}  — все множество точек.

В теории конечномерных векторных пространств существует аналогичное соотношение

$\dim l\geq \dim m+\dim k-\dim n\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

где dimension — «размерность»; $\dim l$ — размерность подпространства, получаемого в результате пересечения подпространств $m$ и $k$; $\dim n$ — размерность объемлющего пространства.

Пусть мы имеем бесконечномерные пространства $M$ и $K$. Тогда в нашей модели их пересечение отобразится подмножеством $L$ из бесконечного числа точек (рис.$5$)

то есть сплошной непрерывной областью. Уравнения $(2)$ и $(3)$ будут здесь иметь вид

$L\geq M+K-N$

Рассмотрим теперь множество из $9$ точек, что соответствует $9$-мерному пространству (рис.$6$)

Если это множество разбить на подмножества по три точки — $A$, $B$, $C$, то нетрудно видеть, что пересечения подмножеств $A$, $B$, $C$ аналогично пересечениям подмножеств из трех точек. В $9$-мерном пространстве это означает, что три его $3$-мерных подпространства могут пересекаться в одной точке и быть взаимно ортогональными. Таким образом, $3$-мерное подпространство в этом случае может играть роль координатной «оси». Здесь обобщается и понятие угла между такими «осями». Тогда то, что соответствует $2$-мерным плоскостям в $3$-мерном пространстве, здесь будет $6$-мерным подпространством.

Мы взяли по три точки в $A$, $B$, $C$ только в качестве примера. Пусть в $A$, $B$, $C$ будет по $n$ точек. Тогда мы получим аналог $3\,n$-мерного пространства. «Куб», например, в таком пространстве может выглядеть следующим образом (рис.$7$)

Здесь каждое ребро $n$-мерно, каждая грань $2\,n$-мерна, сам куб $3\,n$-мерен, но точечных вершин будет восемь. Если в качестве «линии» в $3\,n$-мерном пространстве взять его $n$-мерное подпространство, то мы получим с таким определением обычную $3$-мерную геометрию, где каждая точка может быть охарактеризована тремя числами по отношению к $n$-мерным координатным «осям». Единственное отличие от $3$-мерного пространства будет состоять в том, что «длина» этой «линии» будет измеряться метрами в степени $n$ (см, км, и т. п.). т.е. $\mu ^{n}$. Теорема Пифагора в этом случае будет иметь вид

$r_{\mu ^{2n}}^{2}=x_{\mu ^{2n}}^{2}+y_{\mu ^{2n}}^{2}+z_{\mu ^{2n}}^{2}$

При таком определении такая «$3$-мерная» геометрия формально ничем не будет отличаться от $3$-мерной геометрии Евклида со всем ее содержанием.

В принципе $n$ можно устремить к бесконечности и мы получим «$3$-мерную» геометрию с бесконечным числом внутренних степеней свободы. «Точки» в таком пространстве (то есть очень малые области) будут бесконечномерными.

Мы приходим к выводу, что даже если наблюдатели пользуются формализмом $3$-мерной геометрии, само пространство может быть в изложенном выше смысле много- и даже бесконечномерным, но дополнительные измерения пространства ненаблюдаемы (например, свёрнуты в кольца с планковским радиусом).

Интересно отметить, что эта статья пересекается со статьей , где поясняются такие понятия многомерной алгебры, как множества, морфизмы, категории, кобордизмы, функторы и т.п. Аналогия очевидная.