Биномиальная модель оценивания опционов

Биномиальная модель оценивания опционов является широко распространенным и с точки зрения прикладной математики достаточно простым и очевидным численным методом расчета цены опциона. Под ценой опциона колл мы понимаем сумму денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право купить в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Аналогично для опциона пут ценой является сумма денег, которую должен уплатить сегодня покупатель опциона за право продать в некий будущий момент времени акцию по некоторой заданной цене. Указанный выше будущий момент называется моментом исполнения (экспирации) опциона. Очевидно, что в момент экспирации цены опционов колл и пут равняются:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C=Max(S-K,0)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=Max(K-S,0)}

(1)

Где

S — стоимость акции в момент экспирации;

K — заранее известная цена, по которой покупается (колл) или продается (пут) акция, т. н. страйк.

В момент покупки опциона цена акции в момент экспирации неизвестна. Предполагается, что эта цена является реализацией, значением, некоей случайной величины, а цена опциона является математическим ожиданием известной, вышеприведенной функции, описывающей цену опциона в момент экспирации с учетом дискаунта. Если обозначить через p(S) плотность распределения этой случайной величины, то цены европейских опционов колл и пут без учета дискаунта можно вычислить по формулам:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C = \int\limits_{K}^{\infty}(S-K)p(S)\mathrm dS}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P = \int\limits_{0}^{K}(K-S)p(S)\mathrm dS}

(2)

Таким образом, единственное, что надо знать для вычисления цены опционов — это плотность распределения будущей цены. К сожалению, это единственное не является таким уж маленьким и простым. Блэк и Шоулз постулировали, что распределение цены акции является лог-нормальным, то есть логарифм цены акции имеет нормальное распределение. Это предположение лежит в основе всей современной теории опционов. Таким образом, в соответствии с гипотезой Блэка-Шоулза плотность распределения будущей цены акции имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p(S) = \frac{1}{S \sigma \sqrt{2 \pi}} e^{-(\ln S - \mu)^2/2\sigma^2}}

(3)

Где

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} -математическое ожидание логарифма цены акции;

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma} -среднеквадратическое отклонение логарифма цены акции;

Из предыдущих формул следует, что цены опционов без учета дискаунта равняются:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C=e^{\sigma^2+\mu}N(\frac{\sigma^2-\ln K+\mu}{\sigma})-K N(\frac{-\ln K+\mu}{\sigma})}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=-e^{\sigma^2+\mu}N(-\frac{\sigma^2-\ln K+\mu}{\sigma})+K N(-\frac{-\ln K+\mu}{\sigma})}

(4)

где:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle N(x) = \int\limits_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-(u^2/2)}\mathrm du}

 — известная функция Лапласа, кумулятивная функция нормального распределения.

Предположение о том, что будущая цена акции описывается лог-нормальным распределением следует из более общего предположения о том, что процесс изменения цены акции во времени является диффузионным процессом с двумя постоянными параметрами: сдвигом Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu_0} и диффузией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma_0} , называемой в финансах волатильностью, то есть справедливо уравнение:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dS={\mu_0}Sdt+{\sigma_0}S^2dW(t)}

(5)

где:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W(t)}  — Винеровский процесс с единичной дисперсией.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu_0=r_d-r_f}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_d}  — безрисковая процентная ставка

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_f}  — дивидендная процентная ставка

В соответствии с формулой Ито Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x=\ln(S)} удовлетворяет уравнению:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dx=({\mu_0-\sigma_0^2/2})dt+{\sigma_0}dW(t)}

(6)

Из этой формулы непосредственно следует, что в момент времени t от покупки опциона Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t)=\ln(S(t))} является нормальной величиной, математическое ожидание и средне-квадратическое отклонение которой равняются:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu=\ln{S_0}+({\mu_0-\sigma_0^2/2})t}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma={\sigma_0}\sqrt{t} }

(7)

где:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_0}  — известная цена акции в момент покупки опциона.

Как известно, математическое ожидание любой функции Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(t,x(t))} от времени и траектории диффузионного процесса удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению в частных производных:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial U}{\partial t}=\mu_0 \frac{\partial U}{\partial x}+\sigma_0^2/2\frac{\partial ^2U}{\partial x^2}}

(8)

Следует иметь в виду, что в уравнении (8) время отсчитывается не от того момента, когда заключается сделка, а от момента экспирации. Решением уравнения (8) с начальными условиями (1) являются уравнения (4), в которых подставлены соответствующие параметры из уравнений (7). Эти решения являются хорошо известными формулами Блэка-Шоулза, позволющими вычислить цены европейского Кола и Пута при очевидном учете дискаунта, то есть после умножения на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle e^{-r_dt}} . Для численного решения уравнения (8) можно воспользоваться соответствующей разностной схемой. В простейшем случае первая и вторая частные производные аппроксимируются следующими конечными разностями:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial U(t,x)}{\partial t}=\frac{U(t+\delta t,x)-U(t,x)}{\delta t}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial U(t,x)}{\partial x}=\frac{U(t, x+\delta x)-U(t, x-\delta x)}{2\delta x}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial ^2U(t,x)}{\partial x^2}=\frac{U(t, x+\delta x)+U(t, x-\delta x)-2U(t, x)}{\delta x^2}}

(9)

Подставив формулы (9) в (8), получим следующую расчетную формулу, позволяющую перейти от времени Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t } к Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t+\delta t } :

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(t+\delta t,x)=U(t,x)(1-\sigma_0^2\frac{\delta t}{\delta x^2})+0.5U(t,x+\delta x)(\mu_0\frac{\delta t}{\delta x}+\sigma_0^2\frac{\delta t}{\delta x^2})+0.5U(t,x-\delta x)(-\mu_0\frac{\delta t}{\delta x}+\sigma_0^2\frac{\delta t}{\delta x^2}) }

(10)

Отметим, что формула (10) относится к т.н. явным разностным схемам, в которых значения функции на последующем слое находится непосредственно по значениям на предыдущем слое. В т.н. неявных схемах для нахождения значений функции на последующем слое приходится решать систему линейных уравнений. Преимуществом явной схемы является уменьшенное по сравнению с неявной количество вычислений. Недостаток заключается в том, что такая схема может оказаться неустойчивой, что и происходит, например, при использовании биномиального метода для опционов с барьерами. Для реализации (10) необходимо выбрать два параметра: шаг по времени Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta t} и шаг по пространству Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta x } . В биномиальном методе выбирается лишь шаг по времени. Точнее выбирается количество шагов n от 0 до времени экспирации, а шаг по времени равняется:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta t=\frac{t}{n} }

(11)

Шаг по пространству выбирается таким образом, что для перехода от предыдущего шага к последующему использовались не три значения функции, а лишь два. Собственно метод и называется «биномиал» из-за этого обстоятельства. Для этого принимается, что:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 1-\sigma_0^2\frac{\delta t}{\delta x^2}=0 }

Из этой формулы следует, что шаг по пространству равняется:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta x=\sigma_0\sqrt\delta t }

(12)

С учетом (12) схема вычислений (10), реализованная в биномиале имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle U(t+\delta t,x)=0.5U(t,x+\delta x)(\frac{\mu_0\sqrt \delta t}{\sigma_0}+1)+0.5U(t,x-\delta x)(-\frac{\mu_0\sqrt \delta t}{\sigma_0}+1) }

(13)

Формула (13) получена без каких-либо вероятностных соображений, исходя из хорошо известных методов численного решения дифферециальных уравнений в частных производных. Однако её легко можно интерпретировать на языке теории вероятности. Действительно, из формулы (13) следует, что цена опциона в последующий момент времени является математическим ожиданием цен опциона в двух соседних узлах сетки, ниже на один шаг и выше на один шаг. Вероятности перехода от этих узлов вверх и вниз являются соответствующими коэффициентами в формуле (13). То есть

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_{up}=0.5(\frac{\mu_0\sqrt \delta t}{\sigma_0}+1)}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_{down}=0.5(-\frac{\mu_0\sqrt \delta t}{\sigma_0}+1)}

(14)

Если определять пространственные узлы не по логарифмам цен акций, а по самим ценам, то верхние и нижние значения цен акций связаны со значением, откуда происходит движение зависимостями:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_{up}=S e^{\delta x}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\textstyle S_{down}=Se^{-\delta x}}

(15)

Интересно отметить, насколько искусственно и непросто выводятся формулы (14) и (15), составляющие основу биномиального метода, в т. н. финансовой математике, и, в частности, в работах авторов метода. Отметим также, что в соответствии с формулой (13) в биномиальном методе используется не вся прямоугольная сетка с узлами по времени и пространстве, а т. н. треугольное дерево, в основании которого лежит момент времени, для которого и вычисляется цена опциона, а на каждом временном шаге значения функции считаются лишь в половине пространственных узлов. Очевидно, что рассмотренную схему вычислений можно использовать и для европейского опциона. Но поскольку в этом случае имеется явная аналитическая формула (Блэка-Шоулза), делать это нецелесообразно. В случае американского опциона после получения значения цены опциона по формуле (13) производится сравнение его со значением, полученным при ранней экспирации, то есть разности цены акции и страйка для колла и разности страйка и цены акции для пута. В случае превышения этими разностями цены опциона, последняя заменяется соответствующей разностью.

Литература

• Саймон Вайн Опционы. Полный курс для профессионалов. — М.: Альпина Паблишер, 2008. — 466 с. — ISBN 978-5-9614-0855-3.