Вариационный принцип Дарвина

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вариационный принцип Дарвина — вариационный принцип, на основе которого можно получить как уравнения Максвелла, так и уравнение Дирака. Был найден Ч. Дарвином в 1928 г.[1]

Формулировка[править]

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta S = \delta \int \int \int \int L dx dy dz dt = 0,}

где плотность лагранжиана Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} выражается через компоненты биспинорной волновой функции электронаНевозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi_{1,2,3,4}} , компоненты векторного потенциала Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A_{x}, A_{y}, A_{z}} и скалярный потенциал Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi} [2]

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L = \frac{\hbar}{2i} \left \{ \Psi_{1}^{*} \left [ - \frac{1}{c} \frac{\partial \Psi_{1}}{\partial t} + \left ( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right ) \Psi_{4} + \frac{\partial \Psi_{3}}{\partial z} \right ]+\right.}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\Psi_{2}^{*} \left [ - \frac{1}{c} \frac{\partial \Psi_{2}}{\partial t} + \left ( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right ) \Psi_{3} - \frac{\partial \Psi_{4}}{\partial z} \right ] + }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\Psi_{3}^{*} \left [ - \frac{1}{c} \frac{\partial \Psi_{3}}{\partial t} + \left ( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right ) \Psi_{2} + \frac{\partial \Psi_{1}}{\partial z} \right ] + }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\left.\Psi_{4}^{*} \left [ - \frac{1}{c} \frac{\partial \Psi_{4}}{\partial t} + \left ( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right ) \Psi_{1} - \frac{\partial \Psi_{2}}{\partial z} \right ] \right \} + }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +mc \left ( \Psi_{1}^{*} \Psi_{1} + \Psi_{2}^{*} \Psi_{2} - \Psi_{3}^{*} \Psi_{3} - \Psi_{4}^{*} \Psi_{4} \right ) + }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\frac{e \varphi}{c} \sum_{j=1}^{4} \Psi_{j}^{*} \Psi_{j} + }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\frac{e}{c}A_{x} \left ( \Psi_{1}^{*} \Psi_{4} + \Psi_{2}^{*} \Psi_{3} + \Psi_{3}^{*} \Psi_{2} + \Psi_{4}^{*} \Psi_{1} \right ) + }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\frac{e}{c}A_{y} \left ( - i \Psi_{1}^{*} \Psi_{4} + i \Psi_{2}^{*} \Psi_{3} - i \Psi_{3}^{*} \Psi_{2} + i \Psi_{4}^{*} \Psi_{1} \right ) + }
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle + \frac{e}{c}A_{z} \left ( \Psi_{1}^{*} \Psi_{3} - \Psi_{2}^{*} \Psi_{4} + \Psi_{3}^{*} \Psi_{1} - \Psi_{4}^{*} \Psi_{2} \right ) -}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle - \frac{1}{8 \pi c} \left [ ( rot A)^{2} - \left ( \frac{1}{c} \frac{\partial A}{\partial t} + \nabla \varphi \right )^{2} \right ]}

Уравнения Эйлера-Лагранжа[править]

При варьировании Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle L} считается функцией Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Psi, \Psi^{*}, A_{x}, A_{y}, A_{z}, \varphi} .

Уравнения Эйлера-Лагранжа, получающиеся из требования обращения в нуль вариации Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \delta S} дают уравнения Дирака:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - e \varphi + mc^{2} \right ) \Psi_{1} + c \Pi_{-}\Psi_{4} + c \Pi_{3}\Psi_{3} = 0}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - e \varphi + mc^{2} \right ) \Psi_{2} + c \Pi_{+}\Psi_{3} - c \Pi_{3}\Psi_{4} = 0}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - e \varphi - mc^{2} \right ) \Psi_{3} + c \Pi_{-}\Psi_{2} + c \Pi_{3}\Psi_{1} = 0}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( i \hbar \frac{\partial}{\partial t} - e \varphi - mc^{2} \right ) \Psi_{4} + c \Pi_{+}\Psi_{1} - c \Pi_{3}\Psi_{2} = 0}

Здесь Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Pi_{\pm} = \Pi_{1} \pm \Pi_{2}, \Pi_{j}=\frac{\hbar}{i}\frac{\partial}{\partial x_{j}} + \frac{eA_{j}}{c}, j=1, 2, 3, 4}

Также они дают уравнения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( \nabla^{2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) \varphi = 4 \pi e \sum_{j=1}^{4} \Psi_{j}^{*} \Psi_{j}}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( \nabla^{2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) A_{x} = - 4 \pi e \left ( \Psi_{1}^{*} \Psi_{4} + \Psi_{2}^{*} \Psi_{3} + \Psi_{3}^{*} \Psi_{2} + \Psi_{4}^{*} \Psi_{1} \right )}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( \nabla^{2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) A_{y} = - 4 \pi e \left ( - i \Psi_{1}^{*} \Psi_{4} + i \Psi_{2}^{*} \Psi_{3} - i \Psi_{3}^{*} \Psi_{2} + i \Psi_{4}^{*} \Psi_{1} \right )}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left ( \nabla^{2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) A_{z} = - 4 \pi e \left ( \Psi_{1}^{*} \Psi_{3} - \Psi_{2}^{*} \Psi_{4} + \Psi_{3}^{*} \Psi_{1} - \Psi_{4}^{*} \Psi_{2} \right )}

Из них получаются уравнения Максвелла при помощи введения плотности заряда Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -e \rho} и плотности тока Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -ej} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \rho = \Psi_{1}^{*} \Psi_{1} + \Psi_{2}^{*} \Psi_{2} + \Psi_{3}^{*} \Psi_{3} + \Psi_{4}^{*} \Psi_{4}} , а компоненты плотности потока вероятности равны

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j_{x} = - c \left ( \Psi_{1}^{*} \Psi_{4} + \Psi_{2}^{*} \Psi_{3} + \Psi_{3}^{*} \Psi_{2} + \Psi_{4}^{*} \Psi_{1} \right )}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j_{y} = ic \left ( \Psi_{1}^{*} \Psi_{4} - \Psi_{2}^{*} \Psi_{3} + \Psi_{3}^{*} \Psi_{2} - \Psi_{4}^{*} \Psi_{1} \right )}
Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle j_{z} = - c \left ( \Psi_{1}^{*} \Psi_{3} - \Psi_{2}^{*} \Psi_{4} + \Psi_{3}^{*} \Psi_{1} - \Psi_{4}^{*} \Psi_{2} \right )}

При этом предполагается выполненным следующее нормировочное соотношение:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sum_{j=1}^{4} \int \Psi_{j}^{*} \Psi_{j} d \tau = 1}

Определённые таким образом величины удовлетворяют уравнению неразрывности:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathrm{div} j = 0}

См. также[править]

Примечания[править]

  1. ↑ C. G. Darwin Proc. Roy. Soc. A118 654 (1928)
  2. ↑ Н. Мотт, И.Снеддон Волновая механика и её применения. - М., Наука, 1966. - c. 329-330
Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Вариационный_принцип_Дарвина&oldid=1097598