Уравнение Дирака — релятивистски инвариантное уравнение движения для биспинорного классического поля электрона.
Предложено Полем Дираком.
Эйнштейн высказывался, что он перестал понимать физику после этого уравнения[источник?].
Уравнение Дирака можно обосновать с помощью принципа соответствия (математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях тем же законам). В специальной теории относительности энергия и импульс частицы выражаются через соотношение
Его можно, разделив на обе стороны, преобразовать к следующему виду
где величина , а ;
В самом деле, и т. д., а также ;
Уравнение Дирака (в отсутствие электромагнитного поля) имеет вид [1]
где — матрицы, .
Из принципа соответствия между уравнениями (1) и (2) следует, что или .
И в самом деле, в квантовой механике показано (см. явление Zitterbewegung), что релятивистский оператор скорости ; имеет вид , то есть является матричным оператором [2][3].
Действительно, оператор скорости находится согласно общим правилам дифференцирования операторов по времени
где — оператор Гамильтона
Так как — оператор координаты — не зависит явно от времени, то .
Подставляя сюда оператор Гамильтона, мы получим
Матрица коммутирует с , поэтому матричный оператор можно вынести за скобки. Окончательно имеем
Собственные значения матричного оператора скорости равны , но так как оператор скорости не коммутирует с оператором Гамильтона, то на опыте всегда измеряется среднее значение релятивистского оператора скорости и оно меньше .
Таким образом, соответствие между уравнениями (1) и (2) подтверждается.
- ↑ Дирак П.А.М. "Квантовая теория электрона", Собр.науч.трудов, т.2, М., ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.327
- ↑ Дирак П.А.М. "Некоторые проблемы квантовой механики", Собр.науч.трудов, т.2, М., ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.264
- ↑ Борисоглебский Л. А. «Квантовая механика», Минск, изд-во «Университетское», 1988, с.340-342