Уравнение Дирака — релятивистски инвариантное уравнение движения для биспинорного классического поля электрона.
Предложено Полем Дираком.
Эйнштейн высказывался, что он перестал понимать физику после этого уравнения[источник?].
Уравнение Дирака можно обосновать с помощью принципа соответствия (математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях тем же законам). В специальной теории относительности энергия и импульс частицы выражаются через соотношение
![{\displaystyle E^{2}=p_{1}^{2}c^{2}+p_{2}^{2}c^{2}+p_{3}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc6181f0417b4f683f7400a8ad1e83da798680f)
Его можно, разделив на
обе стороны, преобразовать к следующему виду
![{\displaystyle E={\frac {v_{1}}{c}}p_{1}c+{\frac {v_{2}}{c}}p_{2}c+{\frac {v_{3}}{c}}p_{3}c+{\frac {v_{0}}{c}}m\,c^{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a045e7568426e4404a03e5cba348e4523c94874e)
где величина
, а
;
В самом деле,
и т. д., а также
;
Уравнение Дирака (в отсутствие электромагнитного поля) имеет вид [1]
![{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=(\alpha _{1}{\hat {p}}_{1}c+\alpha _{2}{\hat {p}}_{2}c+\alpha _{3}{\hat {p}}_{3}c+\alpha _{0}\,m\,c^{2})\psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e8e5cd8dfb477ab10e1ce2b4162a55c7900609a)
где
— матрицы,
.
Из принципа соответствия между уравнениями (1) и (2) следует, что
или
.
И в самом деле, в квантовой механике показано (см. явление Zitterbewegung), что релятивистский оператор скорости
; имеет вид
, то есть является матричным оператором [2][3].
Действительно, оператор скорости находится согласно общим правилам дифференцирования операторов по времени
![{\displaystyle {\frac {dx_{\nu }}{dt}}={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial t}}+[H,x_{\nu }]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efe93ae52a4b2d3828f180f9fdb965efc235ef0)
где
— оператор Гамильтона
![{\displaystyle H=\alpha _{\nu }p_{\nu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e67522f81df4279f156b5b9fe21b09639ce16114)
Так как
— оператор координаты — не зависит явно от времени, то
.
Подставляя сюда оператор Гамильтона, мы получим
![{\displaystyle {\frac {dx_{\nu }}{dt}}=[(\alpha _{\mu }p_{\mu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}),\,x_{\nu }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/959c046c2d5a8ed0d6580550c4216a327fbd432b)
Матрица
коммутирует с
, поэтому матричный оператор можно вынести за скобки. Окончательно имеем
![{\displaystyle dx_{\nu }/dt=c\alpha _{\mu }[p_{\mu },x_{\nu }]=c\alpha _{\mu }\delta _{\mu \nu }=c\alpha _{\nu }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fe4d8a2a3e830181bc8eda083008e927e523d88)
Собственные значения матричного оператора скорости равны
, но так как оператор скорости не коммутирует с оператором Гамильтона, то на опыте всегда измеряется среднее значение релятивистского оператора скорости и оно меньше
.
Таким образом, соответствие между уравнениями (1) и (2) подтверждается.
- ↑ Дирак П.А.М. "Квантовая теория электрона", Собр.науч.трудов, т.2, М., ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.327
- ↑ Дирак П.А.М. "Некоторые проблемы квантовой механики", Собр.науч.трудов, т.2, М., ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.264
- ↑ Борисоглебский Л. А. «Квантовая механика», Минск, изд-во «Университетское», 1988, с.340-342