Уравнение Дирака

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Уравнение Дирака — релятивистски инвариантное уравнение движения для биспинорного классического поля электрона.

Предложено Полем Дираком.

Эйнштейн высказывался, что он перестал понимать физику после этого уравнения.[1]

Формулировки[править]

Как утверждал Дирак, он открыл свое знаменитое уравнение, играя с формулами. Ниже показано, что это уравнение можно обосновать с помощью принципа соответствия, о чем сам Дирак и не подозревал.

Уравнение Дирака можно обосновать с помощью принципа соответствия в формулировке Дирака: «Соответствие между квантовой и классической теориями состоит не столько в предельном согласии при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \hbar \rightarrow 0 } , сколько в том, что математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях одним и тем же законам.»[2][3]

В специальной теории относительности энергия и импульс частицы выражаются через соотношение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E^2=p_1^2c^2+p_2^2c^2+p_3^2c^2+m^2c^4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}

Его можно, разделив на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} обе стороны, преобразовать к следующему виду[4]

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=\frac{v_1}{c}p_1c+\frac{v_2}{c}p_2c+\frac{v_3}{c}p_3c+\frac{v_0}{c}m\,c^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}

где величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=\sqrt{c^2-v^2}} , а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v^2=v_1^2+v_2^2+v_3^2}  ;

В самом деле, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_1c}{E}=\frac{mv_1c(c/v_0)}{mc^2(c/v_0)}=\frac{v_1}{c}\,} и т. д., а также Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{mc^2}{E}=\frac{mc^2}{mc^2(c/v_0)}=\frac{v_0}{c}\,} ;

Здесь соотношение (1) следует считать не условием об обозначениях (означает, что записи Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E^2} и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_1^2c^2+p_2^2c^2+p_3^2c^2+m^2c^4} имеют один и тот же смысл). Соотношение (1) рассматривается как настоящее (содержательное) равенство, указывающее связь между Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E(v)} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p(v)} и независимой переменной Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v} .

Чтобы вернуться к исходному уравнению (1) (как бы "возвести в квадрат"), нужно уравнение (2) умножить на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} с обеих сторон.

Уравнение Дирака (в отсутствие электромагнитного поля) имеет вид [5]

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=(\alpha_1\hat p_1c+\alpha_2\hat p_2c+\alpha_3\hat p_3c+\alpha_0 \,m\,c^2)\psi\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_j}  — матрицы, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (j=0,1,2,3,)} . Из принципа соответствия между уравнениями (2) и (3) следует, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_j/c=\alpha_j} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_j=c\alpha_j} .

В квантовой механике показано (явление Zitterbewegung), что релятивистский оператор скорости Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{\nu}=dx_{\nu}/dt;(\nu =1,2,3)}  ; имеет вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{\nu}=c\alpha_{\nu}} , то есть является матричным оператором [6][7].

Действительно, оператор скорости находится согласно общим правилам дифференцирования операторов по времени

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{dx_{\nu}}{dt}=\frac{\partial x_{\nu}}{\partial t}+[H,x_{\nu}]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)}

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H}  — оператор Гамильтона

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle H=\alpha_{\nu}p_{\nu}c+\alpha_0m\,c^2}

Так как Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{\nu}}  — оператор координаты — не зависит явно от времени, то Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dx_{\nu}/dt=[H,x_{\nu}]} . Подставляя сюда оператор Гамильтона, мы получим

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{dx_{\nu}}{dt}=[(\alpha_{\mu}p_{\mu}c+\alpha_0m\,c^2),\,x_{\nu}]}

Матрица Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_{\mu}} коммутирует с Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_{\nu}} , поэтому матричный оператор можно вынести за скобки.

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle dx_{\nu}/dt=c\alpha_{\mu}[p_{\mu},x_{\nu}]=c\alpha_{\mu}\delta_{\mu\nu}=c\alpha_{\nu}}

Собственные значения матричного оператора скорости равны Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pm c} , но так как оператор скорости не коммутирует с оператором Гамильтона, то на опыте всегда измеряется среднее значение релятивистского оператора скорости и оно меньше Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle c} .

Новым у нас является вывод, что матрице Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \alpha_0} соотвествует в специальной теории относительности величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} .

В теории Дирака компоненты 4-скорости Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_j} и соответствующие координаты Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x_j} подчиняются алгебре Клиффорда, т.е. антикоммутируют.

Источники[править]

  1. ↑ Пайс Абрахам, "Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна", М., Наука, 1989, с.443.
  2. ↑ Дирак П. А. М. Собрание научных трудов. — М.: Физматлит, 2003. — Т. II Квантовая теория (научные статьи 1924-1947). — С. 67.
  3. ↑ Дирак П. А. М. К созданию квантовой теории поля. Основные статьи 1925-1958. — М: Наука, 1990. — С. 34. — 368 с.
  4. ↑ Климец А.П. «Мирозданье постигая. Физико-философские очерки», Донецк, изд-во «Питер ПЭН», 2007, с.38
  5. ↑ Дирак П.А.М. "Квантовая теория электрона", Собр.науч.трудов, т.2, М., ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.327
  6. ↑ Дирак П.А.М. "Некоторые проблемы квантовой механики", Собр.науч.трудов, т.2, М., ФИЗМАТЛИТ, 2003, с.264
  7. ↑ Борисоглебский Л. А. «Квантовая механика», Минск, изд-во «Университетское», 1988, с.340-342
Источник — http://cyclowiki.org/w/index.php?title=Уравнение_Дирака&oldid=2484585