Уравнение Дирака

Уравнение Дирака — релятивистски инвариантное уравнение движения для биспинорного классического поля электрона.

Предложено Полем Дираком.

Эйнштейн высказывался, что он перестал понимать физику после этого уравнения.

Формулировки

Как утверждал Дирак, он открыл свое знаменитое уравнение, играя с формулами. Ниже показано, что это уравнение можно обосновать с помощью принципа соответствия, о чем сам Дирак и не подозревал.

Уравнение Дирака можно обосновать с помощью принципа соответствия в формулировке Дирака: «Соответствие между квантовой и классической теориями состоит не столько в предельном согласии при $\hbar \rightarrow 0$, сколько в том, что математические операции двух теорий подчиняются во многих случаях одним и тем же законам.»

В специальной теории относительности энергия и импульс частицы выражаются через соотношение

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E^2=p_1^2c^2+p_2^2c^2+p_3^2c^2+m^2c^4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)}

Его можно, разделив на $E$ обе стороны, преобразовать к следующему виду

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E=\frac{v_1}{c}p_1c+\frac{v_2}{c}p_2c+\frac{v_3}{c}p_3c+\frac{v_0}{c}m\,c^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)}

где величина Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_0=\sqrt{c^2-v^2}} , а $v^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$ ;

В самом деле, ${\frac {p_{1}c}{E}}={\frac {mv_{1}c(c/v_{0})}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{1}}{c}}\,$ и т. д., а также ${\frac {mc^{2}}{E}}={\frac {mc^{2}}{mc^{2}(c/v_{0})}}={\frac {v_{0}}{c}}\,$;

Здесь соотношение (1) следует считать не условием об обозначениях (означает, что записи $E^{2}$ и $p_{1}^{2}c^{2}+p_{2}^{2}c^{2}+p_{3}^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}$ имеют один и тот же смысл). Соотношение (1) рассматривается как настоящее (содержательное) равенство, указывающее связь между $E(v)$, $p(v)$ и независимой переменной $v$.

Чтобы вернуться к исходному уравнению (1) (как бы "возвести в квадрат"), нужно уравнение (2) умножить на Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E} с обеих сторон.

Уравнение Дирака (в отсутствие электромагнитного поля) имеет вид

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}=(\alpha _{1}{\hat {p}}_{1}c+\alpha _{2}{\hat {p}}_{2}c+\alpha _{3}{\hat {p}}_{3}c+\alpha _{0}\,m\,c^{2})\psi \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$

где $\alpha _{j}$ — матрицы, $(j=0,1,2,3,)$. Из принципа соответствия между уравнениями (2) и (3) следует, что Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_j/c=\alpha_j} или Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_j=c\alpha_j} .

В квантовой механике показано (явление Zitterbewegung), что релятивистский оператор скорости Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{\nu}=dx_{\nu}/dt;(\nu =1,2,3)}  ; имеет вид Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle v_{\nu}=c\alpha_{\nu}} , то есть является матричным оператором .

Действительно, оператор скорости находится согласно общим правилам дифференцирования операторов по времени

${\frac {dx_{\nu }}{dt}}={\frac {\partial x_{\nu }}{\partial t}}+[H,x_{\nu }]\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(4)$

где $H$ — оператор Гамильтона

$H=\alpha _{\nu }p_{\nu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}$

Так как $x_{\nu }$ — оператор координаты — не зависит явно от времени, то $dx_{\nu }/dt=[H,x_{\nu }]$. Подставляя сюда оператор Гамильтона, мы получим

${\frac {dx_{\nu }}{dt}}=[(\alpha _{\mu }p_{\mu }c+\alpha _{0}m\,c^{2}),\,x_{\nu }]$

Матрица $\alpha _{\mu }$ коммутирует с $x_{\nu }$, поэтому матричный оператор можно вынести за скобки.

$dx_{\nu }/dt=c\alpha _{\mu }[p_{\mu },x_{\nu }]=c\alpha _{\mu }\delta _{\mu \nu }=c\alpha _{\nu }$

Собственные значения матричного оператора скорости равны $\pm c$, но так как оператор скорости не коммутирует с оператором Гамильтона, то на опыте всегда измеряется среднее значение релятивистского оператора скорости и оно меньше $c$.

Новым у нас является вывод, что матрице $\alpha _{0}$ соотвествует в специальной теории относительности величина ${\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}$.

В теории Дирака компоненты 4-скорости $v_{j}$ и соответствующие координаты $x_{j}$ подчиняются алгебре Клиффорда, т.е. антикоммутируют.