Вероятность

Вероятность случайного события // Кабінет математики [21:00]

Вероятность — склонность или тенденция некоторого определённого состояния к появлению (выявлению, получению) среди иных возможных (доступных, потенциальных).

Является предельно абстрактным разноплановым понятием, в общем случае стремящимся сочетать понятие о возможности со свойством неопределённости. Общее обозрение вероятности рассекает границы формальных наук, натуральной философии и бытового словоупотребления.

В быту вероятностью называют явную или мнимую меру, которой оценивается степень упования…, доказания возможности,… предвосхищения, ожидания, желания,… рутины, «повседневности», обыкновения некоего гипотетического сценария развития событий.

Понятие о мере вероятности — ключевое в Теории вероятностей: это математический объект, характеризуемый вещественночисленным значенем в диапазоне от нуля, означающего невозможность, — до единицы, означающей предопределённость. Классическая теория вероятностей находит толкования и обобщения в современной математике, а математическая статистика это исторически новая и особая вычислительная дисциплина, аксиоматически обоснованная в теории вероятностей. С ходом развития научной мысли возрастает доля предметных областей, поддающихся той или иной вероятностной трактовке, интерпретации. И действительно: случаи и конфигурации известного нам мира, даже если и не предсказуемы в точной и законченной форме, зачастую следуют численному закону, начиная, в общем случае, с самих оговорок, требуемых актом познания; например, «монета»-жребий — «справедлива» не столько потому, что так велят физические законы, сколько потому, что намеренно создаётся и обуславливается, как генератор точно одного бита, или шэннона, информационной энтропии.

Определения и обозначения

Случай называется благоприятствующим данному событию, если появление его влечёт появление этого события. Вероятность события — это число, равное отношению числа благоприятствующих случаев к общему числу равновозможных случаев.

• A — случайное событие;
• n — общее число равновозможных случаев (исходов);
• m — число случаев (исходов) благоприятствующих событию A;
• P(A) — вероятность события A.

Формулы

$P(A)={\frac {m}{n}}$

Для вероятности верно неравенство:

$0\leq P(A)\leq 1$

События называются несовместными, если они не могут наблюдаться в одном и том же испытании одновременно.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Формула вероятности суммы несовместных событий

Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P(A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{n})=P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})$

Если в единичном опыте обязательно должно произойти одно из событий, то такая группа событий называется полной группой событий.

Сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице:

$P(A)+P(B)=1$, если A и B — полная группа

$P(A_{1})+P(A_{2})+\ldots +P(A_{n})=1,$

где $A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n}$ — полная группа.

События называются независимыми, если появление одного из событий не меняет вероятности появления другого.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в одновременном появлении всех этих событий.

Формула вероятности произведения независимых событий

Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей каждого события:

$P(AB)=P(A)\cdot P(B)$

$P(A_{1}\cdot A_{2}\cdot \ldots \cdot A_{n})=P(A_{1})\cdot P(A_{2})\cdot \ldots \cdot P(A_{n})$

Для зависимых событий вероятности появления одних событий зависят от того, произошло другое событие или нет.

Вероятность события A, вычисленная при условии, что имело место другое событие B, называется условной вероятностью события A и обозначается P(A/B).

Вероятность события A₁, вычисленная при условии, что имели место события A₂,A₃,…,A_n, называется условной вероятностью события A₁ и обозначается P(A₁/ A₂,A₃,…,A_n).

Формула вероятности произведения двух событий

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие имело место:

$P(AB)=P(A)\cdot P(B/A)$

$P(AB)=P(B)\cdot P(A/B)$

Формула вероятности суммы двух событий

Сумма вероятностей двух событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности произведения этих событий:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

Формула условной вероятности

Условная вероятность одного события (при условии, что другое событие имело место) равна отношению вероятности произведения двух событий к вероятности другого события:

$P(A/B)={\frac {P(AB)}{P(B)}},P(B/A)={\frac {P(AB)}{P(A)}}$

Формула полной вероятности

$P(A)=\sum \limits _{i=1}^{n}P(H_{i})P(A/H_{i})$

$P(A)=P(H_{1})P(A/H_{1})+P(H_{2})P(A/H_{2})+\ldots +P(H_{n})P(A/H_{n})$

Формула Байеса

$P(H_{i}/A)={\frac {P(H_{i})P(A/H_{i})}{\sum \limits _{j=1}^{n}P(H_{j})P(A/H_{j})}}$

$P(H_{i}/A)={\frac {P(H_{i})P(A/H_{i})}{P(H_{1})P(A/H_{1})+P(H_{2})P(A/H_{2})+\ldots +P(H_{n})P(A/H_{n})}}$

Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной. События, отражающие действие «причин», в данном случае называют гипотезами, так как они — предполагаемые события, повлёкшие данное. Безусловную вероятность справедливости гипотезы называют априорной (насколько вероятна причина вообще), а условную — с учётом факта произошедшего события — апостериорной (насколько вероятна причина оказалась с учётом данных о событии).

Другие разделы

• Теория вероятностей:
  • вероятность;
  • распределения вероятностей;
  • локальная теорема Лапласа;
  • интегральная теорема Лапласа;
  • диаграмма Венна;
  • диаграмма Эйлера;
• Математическая статистика:
  • дискретная случайная величина;
  • непрерывная случайная величина;
  • интервальный ряд;
  • гипотезы;
  • доверительные интервалы;
• Статистика:
  • коэффициенты;
• Экономическая статистика:
  • индексы;
  • показатели динамики;
• Случайные процессы:
  • система управления запасами;
  • система массового обслуживания;
• Теория игр:
  • игра;
  • критерии.

Литература

• Справочник по математике для экономистов. Под ред. проф. В. И. Ермакова. М.: Высшая школа, 1987