Волновой пучок

Волново́й пучо́к — совокупность бегущих волн, распространяющаяся в пространстве в пределах некоторого телесного угла и создающая в нём волновое поле.

Физические основы

В волновой оптике считается, что в результате дифракции света происходит уширение любого светового пучка в результате дифракционной расходимости, возникающей на краях ограничивающих диафрагм или отверстий, величина которой пропорциональна длине волны света Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} и обратно пропорциональна радиусу диафрагмы (отверстия) Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle r_0} .

Волновые пучки представляются в виде набора плоских волн, волновые векторы которых составляют небольшие углы с направлением распространения этих пучков. Геометрическая ось таких пучков представляет прямую линию в оптически однородных средах или кривую в средах, однородность которых изменяется по нелинейному закону. При этом математически описать создаваемое такой совокупностью плоских волн волновое поле можно в приближении квазиоптики, согласно которому поперечные размеры волновых пучков Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d} много больше длины волны волн Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \lambda} , составляющих эти пучки, что позволяет перейти от описания на языке волновых уравнений напряжённостей электромагнитного поля к приближённому параболическому уравнению для их комплексной амплитуды:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial A}{\partial z}=-\frac{i\lambda}{4\pi}\Biggl(\frac{\partial^2A}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 A}{\partial y^2} \Biggl)} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}  — амплитуда волнового пучка, распространяющегося вдоль оси Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} .

Решения данного параболического уравнения лежат между приближениями геометрической оптики, в которой не учитывается дифракция света, и волновой оптики, где приближение квазиоптики Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle d \gg \lambda} отсутствует.

Модельное описание волновых пучков проводится в параксиальном приближении, при котором рассматриваются волновые пучки, распространяющиеся в центрированных оптических системах и образующих с оптическими осями этих систем очень малые углы с ней и нормалями к отражающим и преломляющим поверхностям оптических тел, входящих в данные оптические системы.

Всем признакам модельного описания удовлетворяют гауссовские пучки, представляющие собой класс решений параболического уравнения для комплексной амплитуды.

В векторном виде плоскополяризованные волновые пучки можно описать как:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_x=F_x(x, y, l)} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_y=0} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_l=\frac{1}{ik}\frac{\partial F_x}{\partial x}} ,

из чего для гауссовых пучков имеем:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_x(x, y, 0) = exp \Biggl(-\frac{x^2+y^2}{\sigma^2}\Biggl)\exp^{(-iwt+ikz)}} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_y(x, y, 0)=0} ,

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle E_z(x, y, 0)=-\frac{2ix}{k\sigma^2}\exp^{\Biggl(-\frac{x^2+y^2}{\sigma^2} \Biggl)}e^{-iwt+ikz} } ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sigma}  — полуширина гауссовского пучка.

Интенсивность гауссовского пучка подчиняется формуле Гаусса (поэтому и пучки носят название гауссовских):

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(r)=\mid U(r)\mid^2} ,

что можно представить для координат Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle y} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z} как:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(x, y, z)=I_0 \Biggl (\frac{W_0}{W(z)} \Biggl )^2 exp \Biggl(-\frac{2(x^2+y^2)}{W^2(z)} \Biggl)} ,

где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I_0=\mid A_0 \mid^2 } ,

из чего следует, что интенсивность по оси гауссовского пучка составляет:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle I(0, 0, z)=I_0 \Biggl(\frac{W_0}{W(z)}\Biggl)^2 = \frac{I_0}{1+\Biggl(\frac{z}{z_0}\Biggl)^2}} .

Мощность гауссовского пучка представима как интеграл от интенсивности по амплитуде в пределах всей поперечной плоскости:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=\int\limits_{A_T}^{}I(x, y, z)dA_T} ,

или

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle P=\frac{1}{2}I_0\pi W_0^2} .

Для гауссовского пучка в круге диаметром Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W(z)} сосредоточено 86 % мощности светового излучения пучка.

При выполнении условий Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z \ll z_0} гауссовский пучок представляет собой плоскую волну, а при Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z \gg z_0}  — сферическую.

Понятие волновой пучок используется в волновой оптике, квазиоптике, электродинамике, физической оптике и геометрической оптике с учётом всех ограничений, вводимых в этих областях физики.

Литература

• Апенко М. И., Дубовик А. С. Прикладная оптика. — Москва : Наука, 1982.
• Бутиков Е. И. Оптика : учебное пособие для вузов. — СПб. : БХВ-Петербург : Невский ДиалектЪ, 2003.
• Заказнов Н. П., Кирюшин С. И., Кузичев В. И. Теория оптических систем : учебное пособие для студентов вузов. — СПб., : Лань, 2008.
• Запрягаева Л. А. Прикладная оптика. Ч. 1. Введение в теорию оптических систем. — Москва : Московский институт инженеров геодезии, аэрофотосъёмки и картографии, 2017.
• Ландсберг Г. С. Оптика : учебное пособие для вузов. — Москва : Физматлит, 2003.
• Михеенко А. В. Геометрическая оптика : учебное пособие. — Хабаровск : Издательство Тихоокеанского государственного университета, 2018.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 4. Оптика. — Москва : Физматлит, 2014.
• Каневский И. Н. Фокусировка звуковых и ультразвуковых волн. — Москва : Наука, 1977.

Ссылки

• Волновые пучки в свободном пространстве
• Страница ИРЭ НАНУ

Одним из источников, использованных при создании данной статьи, является статья из википроекта «Рувики» («ruwiki.ru») под названием «Волновой пучок», расположенная по адресу: — «https://ru.ruwiki.ru/wiki/Волновой_пучок» Материал указанной статьи полностью или частично использован в Циклопедии по лицензии CC-BY-SA 4.0 и более поздних версий. Всем участникам Рувики предлагается прочитать материал «Почему Циклопедия?».