Длина дуги винтовой линии
Длина дуги винтовой линии — это число, характеризующее протяжённость дуги винтовой линии в единицах измерения длины.
Винтовая линия — это пространственная линия, описываемая точкой, исходящей из начальной точки цилиндрической поверхности, при движении точки по цилиндрической поверхности в направлении против часовой стрелки.
Рассмотрим дуги винтовой линии, исходящей из точки (a; 0; 0).
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
z1 — аппликата первой точки дуги;
t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
z2 — аппликата второй точки дуги;
t2 — параметр (больший) второй точки дуги;
a — радиус цилиндрической поверхности;
2πb — шаг винтовой линии;
M = (x; y; z) — точка винтовой линии;
M0 = (a; 0; 0) — начальная точка винтовой линии;
t — параметрическая переменная;
x = acost — параметрическое уравнение абсциссы винтовой линии;
y = asint — параметрическое уравнение ординаты винтовой линии;
z = bt — параметрическое уравнение аппликаты винтовой линии;
Lдуг.винт.лин — длина дуги винтовой линии.
Формула[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.винт.лин}=\sqrt{a^2+b^2}(t_2-t_1) }[/math]
- Заметим, что длина одного витка винтовой линии равна L1вит.винт.лин = 2π(a2 + b2)0,5.
Вывод формулы[править]
- [math]\displaystyle{ L_\text{дуг.винт.лин}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[(a\cos t)'_t\right]^2+\left[(a\sin t)'_t\right]^2+\left[(bt)'_t\right]^2}dt= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2+b^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{a^2+b^2}dt=\left.\sqrt{a^2+b^2}t\right|_{t_1}^{t_2}= }[/math]
- [math]\displaystyle{ =\sqrt{a^2+b^2}(t_2-t_1) \Rightarrow L_\text{дуг.винт.лин}=\sqrt{a^2+b^2}(t_2-t_1) }[/math]
- Для вывода используется формула длина дуги трёхмерной кривой для функции, заданной параметрически.
Литература[править]
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.511.