Длина дуги винтовой линии

Формула

Длина дуги винтовой линии — это число, характеризующее протяжённость дуги винтовой линии в единицах измерения длины.

Винтовая линия — это пространственная линия, описываемая точкой, исходящей из начальной точки цилиндрической поверхности, при движении точки по цилиндрической поверхности в направлении против часовой стрелки.

Рассмотрим дуги винтовой линии, исходящей из точки (a; 0; 0).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

z₁ — аппликата первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

z₂ — аппликата второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

a — радиус цилиндрической поверхности;

2πb — шаг винтовой линии;

M = (x; y; z) — точка винтовой линии;

M₀ = (a; 0; 0) — начальная точка винтовой линии;

t — параметрическая переменная;

x = acost — параметрическое уравнение абсциссы винтовой линии;

y = asint — параметрическое уравнение ординаты винтовой линии;

z = bt — параметрическое уравнение аппликаты винтовой линии;

L_{дуг.винт.лин} — длина дуги винтовой линии.

Формула

$L_{\text{дуг.винт.лин}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}(t_{2}-t_{1})$

• Заметим, что длина одного витка винтовой линии равна L_{1вит.винт.лин} = 2π(a² + b²)^0,5.

Вывод формулы

$L_{\text{дуг.винт.лин}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left[(a\cos t)'_{t}\right]^{2}+\left[(a\sin t)'_{t}\right]^{2}+\left[(bt)'_{t}\right]^{2}}}dt=$

$=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {(-a\sin t)^{2}+(a\cos t)^{2}+b^{2}}}dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}dt=\left.{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}t\right|_{t_{1}}^{t_{2}}=$

$={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}(t_{2}-t_{1})\Rightarrow L_{\text{дуг.винт.лин}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}(t_{2}-t_{1})$

• Для вывода используется формула длина дуги трёхмерной кривой для функции, заданной параметрически.

Литература

• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике — М.: Наука, 1964, стр.511.