Длина дуги трёхмерной кривой
Длина дуги трёхмерной кривой — это числовая характеристика протяжённости дуги кривой в единицах измерения длины.
Содержание
Обозначения[править]
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
z1 — аппликата первой точки дуги;
t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
z2 — аппликата второй точки дуги;
t2 — параметр (больший) второй точки дуги;
M = (x, y, z) — точка трёхмерной кривой;
t — параметрическая переменная;
x = x(t) — параметрическое уравнение абсциссы трёхмерной кривой;
y = y(t) — параметрическое уравнение ординаты трёхмерной кривой;
z = z(t) — параметрическое уравнение аппликаты трёхмерной кривой;
Lдуги — длина дуги трёхмерной кривой.
Формулы:[править]
Прямоугольная система координат[править]
Длина дуги трёхмерной кривой, заданной системой уравнений y = y(x), z = z(x) или x = x(y), z = z(y) или x = x(z), y = y(z), считается по соответствующим формулам:
- [math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[y'_x(x)\right]^2+\left[z'_x(x)\right]^2}dx \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\frac{dy(x)}{dx}\right]^2+\left[\frac{dz(x)}{dx}\right]^2}dx }[/math]
- [math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[x'_y(y)\right]^2+\left[z'_y(y)\right]^2}dy \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(y)}{dy}\right]^2+\left[\frac{dz(y)}{dy}\right]^2}dx }[/math]
- [math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{z_1}^{z_2}\sqrt{1+\left[x'_z(z)\right]^2+\left[y'_z(z)\right]^2}dz \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{z_1}^{z_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(z)}{dz}\right]^2+\left[\frac{dy(z)}{dz}\right]^2}dz }[/math]
Параметрически заданная кривая[править]
Длина дуги трёхмерной кривой, заданной (параметрически) уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), считается по формуле:
- [math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[x'_t(t)\right]^2+\left[y'_t(t)\right]^2+\left[z'_t(t)\right]^2}dt \Leftrightarrow }[/math]
- [math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dy(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dz(t)}{dt}\right]^2}dt }[/math]
Примеры трёхмерных кривых:[править]
Другие формулы:[править]
Виды формул:[править]
- неравенства;
- операции;
- расстояния;
- длины;
- площади;
- объёмы;
- проекции;
- точки;
- уравнения;
- системы уравнений;
- углы;
- дифференциальные уравнения;
- системы дифференциальных уравнений.
Литература[править]
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.250.