VIDEO
Дифференциальная геометрия / кривая в пространстве / общие разговоры // Павел Шестопалов [3:01]
Длина дуги трёхмерной кривой — это числовая характеристика протяжённости дуги кривой в единицах измерения длины.
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки дуги;
y1 — ордината первой точки дуги;
z1 — аппликата первой точки дуги;
t1 — параметр (меньший) первой точки дуги;
x2 — абсцисса второй точки дуги;
y2 — ордината второй точки дуги;
z2 — аппликата второй точки дуги;
t2 — параметр (больший) второй точки дуги;
M = (x, y, z) — точка трёхмерной кривой;
t — параметрическая переменная;
x = x(t) — параметрическое уравнение абсциссы трёхмерной кривой;
y = y(t) — параметрическое уравнение ординаты трёхмерной кривой;
z = z(t) — параметрическое уравнение аппликаты трёхмерной кривой;
Lдуги — длина дуги трёхмерной кривой.
Прямоугольная система координат [ править ] Длина дуги трёхмерной кривой, заданной системой уравнений y = y(x), z = z(x) или x = x(y), z = z(y) или x = x(z), y = y(z) , считается по соответствующим формулам:
L
дуги
=
∫
x
1
x
2
1
+
[
y
x
′
(
x
)
]
2
+
[
z
x
′
(
x
)
]
2
d
x
⇔
{\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[y'_{x}(x)\right]^{2}+\left[z'_{x}(x)\right]^{2}}}dx\Leftrightarrow }
⇔
L
дуги
=
∫
x
1
x
2
1
+
[
d
y
(
x
)
d
x
]
2
+
[
d
z
(
x
)
d
x
]
2
d
x
{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[{\frac {dy(x)}{dx}}\right]^{2}+\left[{\frac {dz(x)}{dx}}\right]^{2}}}dx}
L
дуги
=
∫
y
1
y
2
1
+
[
x
y
′
(
y
)
]
2
+
[
z
y
′
(
y
)
]
2
d
y
⇔
{\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+\left[x'_{y}(y)\right]^{2}+\left[z'_{y}(y)\right]^{2}}}dy\Leftrightarrow }
⇔
L
дуги
=
∫
y
1
y
2
1
+
[
d
x
(
y
)
d
y
]
2
+
[
d
z
(
y
)
d
y
]
2
d
x
{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+\left[{\frac {dx(y)}{dy}}\right]^{2}+\left[{\frac {dz(y)}{dy}}\right]^{2}}}dx}
L
дуги
=
∫
z
1
z
2
1
+
[
x
z
′
(
z
)
]
2
+
[
y
z
′
(
z
)
]
2
d
z
⇔
{\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{\sqrt {1+\left[x'_{z}(z)\right]^{2}+\left[y'_{z}(z)\right]^{2}}}dz\Leftrightarrow }
⇔
L
дуги
=
∫
z
1
z
2
1
+
[
d
x
(
z
)
d
z
]
2
+
[
d
y
(
z
)
d
z
]
2
d
z
{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{\sqrt {1+\left[{\frac {dx(z)}{dz}}\right]^{2}+\left[{\frac {dy(z)}{dz}}\right]^{2}}}dz}
Параметрически заданная кривая [ править ] Длина дуги трёхмерной кривой, заданной (параметрически) уравнениями x = x(t) , y = y(t) , z = z(t) , считается по формуле:
L
дуги
=
∫
t
1
t
2
[
x
t
′
(
t
)
]
2
+
[
y
t
′
(
t
)
]
2
+
[
z
t
′
(
t
)
]
2
d
t
⇔
{\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left[x'_{t}(t)\right]^{2}+\left[y'_{t}(t)\right]^{2}+\left[z'_{t}(t)\right]^{2}}}dt\Leftrightarrow }
⇔
L
дуги
=
∫
t
1
t
2
[
d
x
(
t
)
d
t
]
2
+
[
d
y
(
t
)
d
t
]
2
+
[
d
z
(
t
)
d
t
]
2
d
t
{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left[{\frac {dx(t)}{dt}}\right]^{2}+\left[{\frac {dy(t)}{dt}}\right]^{2}+\left[{\frac {dz(t)}{dt}}\right]^{2}}}dt}
Примеры трёхмерных кривых: [ править ] Другие формулы: [ править ] Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.250. 
![{\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[y'_{x}(x)\right]^{2}+\left[z'_{x}(x)\right]^{2}}}dx\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3afdc3db03e05af6f9d3ef1393009e533b3247)
![{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {1+\left[{\frac {dy(x)}{dx}}\right]^{2}+\left[{\frac {dz(x)}{dx}}\right]^{2}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75f62387a44ebe2e92215a794941fbcce4fc760c)
![{\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+\left[x'_{y}(y)\right]^{2}+\left[z'_{y}(y)\right]^{2}}}dy\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50500532fc7cf6933ccf6ff2e4ddfd663a9ab39)
![{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int \limits _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {1+\left[{\frac {dx(y)}{dy}}\right]^{2}+\left[{\frac {dz(y)}{dy}}\right]^{2}}}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f31d05c71e5fb638c9b2ea502ed368478a15a8d9)
![{\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{\sqrt {1+\left[x'_{z}(z)\right]^{2}+\left[y'_{z}(z)\right]^{2}}}dz\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/159d790fe19999a86687ee672e9e08ddf6edb3f4)
![{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}{\sqrt {1+\left[{\frac {dx(z)}{dz}}\right]^{2}+\left[{\frac {dy(z)}{dz}}\right]^{2}}}dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6da3c8cdcfd130802bbb994a242b80a1ac633609)
![{\displaystyle L_{\text{дуги}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left[x'_{t}(t)\right]^{2}+\left[y'_{t}(t)\right]^{2}+\left[z'_{t}(t)\right]^{2}}}dt\Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76b9467a3983c2264d8456fdf25035357d36e95a)
![{\displaystyle \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {\left[{\frac {dx(t)}{dt}}\right]^{2}+\left[{\frac {dy(t)}{dt}}\right]^{2}+\left[{\frac {dz(t)}{dt}}\right]^{2}}}dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355206578aba27b02170c9b5ea3d6fe217ec3a70)