Длина дуги трёхмерной кривой

Дифференциальная геометрия / кривая в пространстве / общие разговоры // Павел Шестопалов [3:01]

Длина дуги трёхмерной кривой — это числовая характеристика протяжённости дуги кривой в единицах измерения длины.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

z₁ — аппликата первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

z₂ — аппликата второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

M = (x, y, z) — точка трёхмерной кривой;

t — параметрическая переменная;

x = x(t) — параметрическое уравнение абсциссы трёхмерной кривой;

y = y(t) — параметрическое уравнение ординаты трёхмерной кривой;

z = z(t) — параметрическое уравнение аппликаты трёхмерной кривой;

L_дуги — длина дуги трёхмерной кривой.

Формулы:

Прямоугольная система координат

Длина дуги трёхмерной кривой, заданной системой уравнений y = y(x), z = z(x) или x = x(y), z = z(y) или x = x(z), y = y(z), считается по соответствующим формулам:

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[y'_x(x)\right]^2+\left[z'_x(x)\right]^2}dx \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+\left[\frac{dy(x)}{dx}\right]^2+\left[\frac{dz(x)}{dx}\right]^2}dx }[/math]

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[x'_y(y)\right]^2+\left[z'_y(y)\right]^2}dy \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{y_1}^{y_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(y)}{dy}\right]^2+\left[\frac{dz(y)}{dy}\right]^2}dx }[/math]

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{z_1}^{z_2}\sqrt{1+\left[x'_z(z)\right]^2+\left[y'_z(z)\right]^2}dz \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{z_1}^{z_2}\sqrt{1+\left[\frac{dx(z)}{dz}\right]^2+\left[\frac{dy(z)}{dz}\right]^2}dz }[/math]

Параметрически заданная кривая

Длина дуги трёхмерной кривой, заданной (параметрически) уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), считается по формуле:

[math]\displaystyle{ L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[x'_t(t)\right]^2+\left[y'_t(t)\right]^2+\left[z'_t(t)\right]^2}dt \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow L_{\text{дуги}}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{\left[\frac{dx(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dy(t)}{dt}\right]^2+\left[\frac{dz(t)}{dt}\right]^2}dt }[/math]

Примеры трёхмерных кривых:

• винтовая линия.

Другие формулы:

• Длина дуги плоской кривой;
• Длина дуги трёхмерной кривой.

Виды формул:

• неравенства;
• операции;
• расстояния;
• длины;
• площади;
• объёмы;
• проекции;
• точки;
• уравнения;
• системы уравнений;
• углы;
• дифференциальные уравнения;
• системы дифференциальных уравнений.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике — М., 1956, стр.250.