Точка (геометрия)

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Точки в двумерном евклидовом пространстве (обозначены красным цветом)

В современной математике точка обычно относится к элементу некоторого множества, называемому пространством.

Более конкретно, в евклидовой геометрии точка — это примитивное понятие, на котором построена геометрия, что означает, что точка не может быть определена в терминах ранее определенных объектов. То есть точка определяется только некоторыми свойствами, называемыми аксиомами, которым она должна удовлетворять. В частности, геометрические точки не имеют длины, площади, объема или каких-либо других размерных атрибутов. Распространенное толкование состоит в том, что понятие точки предназначено для отражения понятия уникального местоположения в евклидовом пространстве.[1]

[править] Точки в евклидовой геометрии

Точки, рассматриваемые в рамках евклидовой геометрии, являются одними из самых фундаментальных объектов. Евклид первоначально определил точку как «то, что не имеет части». В двумерном евклидовом пространстве точка представлена ​​упорядоченной парой (x, y) чисел, где первое число условно представляет горизонталь и часто обозначается x, а второе число условно представляет вертикаль и часто обозначается пользователя y. Эта идея легко обобщается на трехмерное евклидово пространство, где точка представлена ​​упорядоченным триплетом (x, y, z) с дополнительным третьим числом, представляющим глубину, и часто обозначается z. Дальнейшие обобщения представлены упорядоченным набором из n терминов (a1, a2, … , an), где n — размерность пространства, в котором расположена точка.

Многие конструкции в евклидовой геометрии состоят из бесконечного набора точек, соответствующих определенным аксиомам. Обычно это представлено набором точек; например, линия представляет собой бесконечный набор точек вида [math]\scriptstyle {L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace}[/math], где с c1 по cn и d — константы, а n — размерность пространства. Существуют аналогичные конструкции, которые определяют плоскость, линейный сегмент и другие связанные понятия. Отрезок, состоящий только из одной точки, называется вырожденным отрезком.

В дополнение к определению точек и построений, связанных с точками, Евклид также постулировал ключевую идею о точках, что любые две точки могут быть соединены прямой линией. Это легко подтверждается современными расширениями евклидовой геометрии и имело длительные последствия при ее введении, позволяя построить почти все геометрические концепции, известные в то время. Однако постулирование точек Евклида не было ни полным, ни окончательным, и иногда он предполагал факты о точках, которые не вытекали непосредственно из его аксиом, такие как порядок точек на прямой или существование конкретных точек. Несмотря на это, современные расширения системы служат для устранения этих предположений.

[править] Источники

  1. Ohmer Merlin M. Elementary Geometry for Teachers. — Reading: Addison-Wesley, 1969.
Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты