Евклидова геометрия

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Деталь из «Афинской школы» Рафаэля с изображением греческого математика — возможно, представляющего Евклида или Архимеда, который с помощью компаса рисует геометрическую конструкцию.

Евклидова геометрия — это математическая система, приписываемая александрийскому греческому математику Евклиду, которую он описал в своем учебнике по геометрии: Начала. Метод Евклида состоит в допущении небольшого набора интуитивно привлекательных аксиом и выводе из них многих других утверждений (теорем). Хотя многие из результатов Евклида были изложены более ранними математиками[1], Евклид был первым, кто показал, как эти предложения могут вписаться во всеобъемлющую дедуктивную и логическую систему[2]. «Начала» начинаются с плоской геометрии, которую все еще преподают в средней школе в качестве первой аксиоматической системы и первых примеров формального доказательства. Он переходит к твердой геометрии трех измерений. Большая часть «Начал» утверждает результаты того, что сейчас называется алгеброй и теорией чисел, объясненных на геометрическом языке.[1]

Более двух тысяч лет прилагательное «евклидова» было ненужным, потому что не было придумано никакого другого вида геометрии. Аксиомы Евклида казались настолько интуитивно очевидными (за возможным исключением параллельного постулата), что любая доказанная на их основе теорема считалась истинной в абсолютном, часто метафизическом смысле. Однако сегодня известно множество других самосогласованных неевклидовых геометрий, первые из которых были обнаружены в начале 19 века. Из общей теории относительности Альберта Эйнштейна следует, что физическое пространство само по себе не является евклидовым, а евклидово пространство является для него хорошим приближением только на коротких расстояниях (относительно силы гравитационного поля)[3].

Евклидова геометрия является примером синтетической геометрии, поскольку она логически переходит от аксиом, описывающих основные свойства геометрических объектов, таких как точки и линии, к утверждениям об этих объектах, и все это без использования координат для определения этих объектов. Это контрастирует с аналитической геометрией, которая использует координаты для перевода геометрических утверждений в алгебраические формулы.

Содержание

[править] «Начала»

«Начала» — это в основном систематизация ранее полученных знаний по геометрии. Работа Евклида является более общей, в результате чего было мало интереса к сохранению более ранних трудов, и теперь они почти все потеряны.

В «Началах» 13 книг:

В книгах I—IV и VI обсуждается геометрия плоскости. Доказано множество результатов о плоских фигурах, например: «В любом треугольнике два угла, взятые вместе любым способом, меньше двух прямых» (Книга I, предложение 17) и теорема Пифагора: «В прямоугольных треугольниках квадрат на стороне, образующей прямой угол, равен квадратам на сторонах, содержащих прямой угол» (Книга I, предложение 47).

Книги V и VII—X посвящены теории чисел, где числа рассматриваются геометрически как длины отрезков прямой или площади областей. Вводятся такие понятия, как простые числа, рациональные и иррациональные числа. Доказано, что простых чисел бесконечно много.

Книги XI—XIII посвящены твердотельной геометрии. Типичный результат — это соотношение 1:3 между объемом конуса и цилиндра с одинаковой высотой и основанием. Платоновы тела построены.

[править] Аксиомы

Аксиома параллельности (Постулат 5): если две прямые пересекают третью таким образом, что сумма внутренних углов на одной стороне меньше двух прямых углов, то две прямые неизбежно должны пересекать друг друга на этой стороне, если они простираются достаточно далеко.

Евклидова геометрия — это аксиоматическая система, в которой все теоремы («истинные утверждения») выводятся из небольшого числа простых аксиом. До появления неевклидовой геометрии эти аксиомы считались очевидными в физическом мире, так что все теоремы были одинаково верными. Однако рассуждения Евклида от предположений к заключениям остаются в силе независимо от их физической реальности.[4]

Ближе к началу первой книги «Начал» Евклид дает пять постулатов (аксиом) для плоской геометрии, сформулированных в терминах конструкций.

Постулируем следующее:
  1. Провести прямую линию из любой точки в любую точку.
  2. Чтобы построить (удлинить) конечную прямую линию непрерывно в прямую линию.
  3. Чтобы описать круг с любым центром и расстоянием (радиусом).
  4. Что все прямые углы равны друг другу.
  5. Аксиома параллельности: если прямая линия, падающая на две прямые, делает внутренние углы на одной стороне меньше двух прямых углов, две прямые линии, если они образуются бесконечно, пересекаются на той стороне, на которой углы меньше чем два прямых угла.

Хотя Евклид только явно утверждает существование сконструированных объектов, в его рассуждениях они неявно предполагаются уникальными.

«Начала» также включают следующие пять «общих понятий»:

  1. Вещи, которые равны одному и тому же, также равны друг другу (транзитивное свойство евклидова отношения).
  2. Если равные добавляются к равным, тогда целые равны (свойство равенства сложения).
  3. Если равные вычитаются из равных, то разности равны (свойство вычитания равенства).
  4. Совпадающие друг с другом вещи равны друг другу (рефлексивное свойство).
  5. Целое больше части.

Современные ученые согласны с тем, что постулаты Евклида не обеспечивают полного логического основания, которое Евклид требовал для своего выступления[5]. Современные методы лечения используют более обширные и полные наборы аксиом.

[править] Методы доказательства

Евклидова геометрия конструктивна. Постулаты 1, 2, 3 и 5 утверждают существование и уникальность определенных геометрических фигур, и эти утверждения носят конструктивный характер: то есть нам не только говорят, что определенные вещи существуют, но также дают методы для их создания с помощью не более чем циркуль и линейка без опознавательных знаков. В этом смысле евклидова геометрия более конкретна, чем многие современные аксиоматические системы, такие как теория множеств, которые часто утверждают существование объектов, не говоря, как их построить, или даже утверждают существование объектов, которые не могут быть построены в рамках теории. Строго говоря, линии на бумаге — это модели объектов, определенных в формальной системе, а не экземпляры этих объектов. Например, евклидова прямая линия не имеет ширины, но любая настоящая нарисованная линия будет. Хотя почти все современные математики считают неконструктивные методы столь же надежными, как и конструктивные, конструктивные доказательства Евклида часто вытесняли ошибочные неконструктивные — например, некоторые из пифагорейских доказательств, в которых использовались иррациональные числа, которые обычно требовали такого утверждения, как «Найдите наибольшую общую меру». из … "[6]

Евклид часто использовал доказательство от противного. Евклидова геометрия также допускает метод наложения, при котором фигура переносится в другую точку пространства. Например, предложение I.4, конгруэнтность треугольников сторона-угол-сторона, доказывается перемещением одного из двух треугольников так, чтобы одна из его сторон совпадала с равной стороной другого треугольника, а затем доказыванием совпадения других сторон. Некоторые современные методы лечения добавляют шестой постулат, жесткость треугольника, который можно использовать как альтернативу суперпозиции.[7]

[править] Система измерения и арифметики

Евклидова геометрия имеет два основных типа измерений: угол и расстояние. Угловая шкала является абсолютной, и Евклид использует прямой угол в качестве своей основной единицы, так что, например, угол в 45 градусов будет называться половиной прямого угла. Шкала расстояний относительна; один произвольно выбирает отрезок прямой с некоторой ненулевой длиной в качестве единицы, а другие расстояния выражаются относительно него. Сложение расстояний представлено конструкцией, в которой один линейный сегмент копируется на конец другого линейного сегмента для увеличения его длины, и аналогично для вычитания.

Измерения площади и объема производятся на основе расстояний. Например, прямоугольник шириной 3 и длиной 4 имеет площадь, представляющую произведение, 12. Поскольку эта геометрическая интерпретация умножения была ограничена тремя измерениями, не существовало прямого способа интерпретации произведения четырех или более чисел, и Евклид избегал таких произведений, хотя они подразумеваются, например, в доказательстве книги IX, предложение 20.

Евклид называет пару линий, пару плоских или твердых фигур «равными» (ἴσος), если их длина, площадь или объем равны соответственно, и аналогично для углов. Более сильный термин «конгруэнтный» относится к идее, что вся фигура имеет тот же размер и форму, что и другая фигура. В качестве альтернативы, две фигуры являются конгруэнтными, если одну можно поставить поверх другой, чтобы она точно совпала с ней (gереворачивание разрешено.) Таким образом, например, прямоугольник 2x6 и прямоугольник 3x4 равны, но не конгруэнтны, а буква R конгруэнтна своему зеркальному отображению. Фигуры, которые были бы совпадающими, за исключением различий в размерах, называются подобными. Соответствующие углы в паре одинаковых форм конгруэнтны, а соответствующие стороны пропорциональны друг другу.

[править] Обозначения и терминология

[править] Именование точек и фигур

Точки обычно называют заглавными буквами алфавита. Другие фигуры, такие как линии, треугольники или круги, именуются перечислением достаточного количества точек, чтобы однозначно выделить их из соответствующей фигуры, например, треугольник ABC обычно будет треугольником с вершинами в точках A, B и C.

[править] Дополнительные углы

Углы, сумма которых составляет прямой угол, называются дополнительными. Дополнительные углы образуются, когда луч имеет одну и ту же вершину и направлен в направлении, которое находится между двумя исходными лучами, которые образуют прямой угол. Число лучей между двумя исходными лучами бесконечно.

[править] См. также

[править] Источники

  1. 1,0 1,1 Eves 1963, p. 19
  2. Eves 1963, p. 10
  3. Misner, Thorne, and Wheeler (1973), p. 47
  4. The assumptions of Euclid are discussed from a modern perspective in Introduction to Non-Euclidean Geometry. — Mill Press, 2007. — ISBN 978-1-4067-1852-2.
  5. Venema, Gerard A. (2006), «Foundations of Geometry», Prentice-Hall, с. 8, ISBN 978-0-13-143700-5 
  6. Solved and Unsolved Problems in Number Theory. — American Mathematical Society, 2002.
  7. Coxeter, p. 5

[править] Литература

  • Coxeter H.S.M. Introduction to Geometry. — New York: Wiley, 1961.
  • Eves Howard A Survey of Geometry (Volume One). — Allyn and Bacon, 1963.


Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты