Бесконечно малая

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Бесконечно малая часть (и её отбрасывание) у гипервещественных чисел

Бесконечно малая величина — величина, настолько близкая к нулю, что её невозможно обнаружить средствами арифметики обычных целых чисел; в частности произведение бесконечно малой на всякое целое число не может достигнуть (или превысить) единицу. Ненулевые бесконечно малые невозможны в системе действительных (вещественных) чисел, что следует из аксиомы Архимеда. Их формальное изучение возможно при помощи особых конструкций: неархимедовы упорядоченные поля (включая так называемый «нестандартный анализ») или же понятия предела функции (включая бесконечные последовательности). В случае функций (последовательностей), по определению, бесконечно малая имеет предел 0 по заданной базе (т. е. в заданном месте).

Например, при [math]n\to\infty[/math] последовательность [math]\frac{1}{n}[/math] является бесконечно малой, т. к. [math]\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0[/math].

Содержание

Исторически проблема бесконечно малых являлась центральной в формировании анализа, в особенности дифференциального и интегрального исчислений. Даже непрерывность функции понималась математиками конца XVIII века как свойство иметь бесконечно малые приращения значения при бесконечно малых приращениях аргумента.[1]

Величина, обратная к бесконечно большой, является бесконечно малой.

[править] История

Archie1small.png

Первые известные публикации о бесконечно малых принадлежат Архимеду. В сочинении «Метод механических теорем» он предложил свою версию интегрального исчисления, но низкий уровень математики в последующие столетия помешал дальнейшему развитию его идей.

Исаак Ньютон уделил большое внимание бесконечно малым в своём сочинении «Method of Fluxions» (написано около 1671 года, при жизни не опубликовано). Идеи Ньютона быстро вошли в моду, на что епископ Джордж Беркли ответил ядовитым памфлетом. В число скептиков входили также Исаак Барроу и Мишель Ролль. После работ Коши и Вейерштрасса проблема построения числовой системы, включающей бесконечно малые и бесконечно большие, перестала волновать аналитиков. Однако в XX веке такими системами заинтересовались логики в связи с некоторыми вопросами теории множеств (в частности, об ультрафильтрах).

[править] См. также

[править] Источники

[править] Литература

Персональные инструменты
Пространства имён

Варианты
Действия
Навигация
Инструменты