Смысл дифференциалов

Основная статья — дифференциал (математика)

Смысл дифференциалов — объяснение того, как можно охватить весь «смысл дифференциалов» и почему они играют большую роль в математическом анализе.

Геометрический смысл

Дифференциал как инфинитезималь

Как указывалось в основной статье, последователи Лейбница и Лопиталя воспринимали дифференциал как бесконечно малое число. В частности, дифференциал независимой переменной понимали как бесконечно малую длину элементарного отрезка оси Ox, который, по их представлениям, был более неделим.

Дифференциал в современном понимании

Традиционно в современных источниках при ознакомлении с дифференциалами приводится геометрический смысл производной, основанном на касательной. Дифференциалом функции y = f(x) называется то (dy), насколько изменится ордината точки при её перемещении по касательной, если сдвиг этой точки по абсциссе будет равен dx. Таким образом, вектор {dx, dy} будет пониматься как направляющий вектор этой касательной.

Дифференциальные уравнения

Исторически оказалось, что дифференциалы имеют огромный вес в решении дифференциальных уравнений.

Пример — радиоактивный распад

Угловой коэффициент касательной прямо пропорционален самой ординате точки касания

Известно, что скорость, с которой количество радиоактивного вещества N уменьшается в течение времени t, оказывается прямо пропорциональна N. Такое утверждение можно записать как:

$N'(t)=aN(t),$

где a — отрицательная константа. Ниже будут показаны два способа решения этого уравнения относительно N(t).

Метод приращений. Решить данное уравнение можно, раскрыв определение производной:

$\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\Delta N}{\Delta t}}=aN(t)\Longleftrightarrow {\frac {\Delta N}{\Delta t}}=aN+\epsilon (t,\Delta t),$

где ε — функция такая, что

$\lim _{\Delta t\to 0}\epsilon (t,\Delta t)=0.$

Тогда можно в одну часть равенства «занести» всё, что связано с N, а в другую — с t.

$\Delta N=aN\Delta t+\epsilon (t,\Delta t)\Delta t\Longleftrightarrow {\frac {\Delta N}{N}}+\epsilon _{2}(t,\Delta t)\Delta t=a\Delta t.$

А далее, чтобы «избавиться» от дельт, нужно произвести суммирование приращений, начиная с некоторого начального отсчёта t₀:

$\sum _{u=t_{0}}^{t}({\frac {\Delta N(u)}{N(u)}}+\epsilon _{2}(u,\Delta u)\Delta u)=a\sum _{u=t_{0}}^{t}\Delta u.$

Тогда заметим, что ΔN/N с точностью до некоторой погрешности вида ε Δt равняется Δ ln N, где ln — log_e. Далее, «избавиться» от всех эписилонов можно, если суммирование проводить по бесконечно малому шагу Δu:

$\lim _{\Delta u\to 0}\sum _{u=t_{0}}^{t}(\Delta \ln N(u)+\epsilon _{3}(u,\Delta u)\Delta u)=a(t-t_{0})\Longleftrightarrow \ln N(t)-\ln N(t_{0})=a(t-t_{0})\Longleftrightarrow N(t)=N(t_{0})e^{a(t-t_{0})},$

где N(t₀) — начальное количество в начальный момент t₀. Именно так наглядно можно обосновать, по какому принципу происходит решение дифференциальных уравнений.

Метод дифференциалов. Для дифференциальных уравнений существует и такой мощный инструмент, как дифференциалы. Отличается такой способ тем, что в целом он даёт меньше наглядности, но позволяет больше «экономить» на эпсилонах. Однако на самом деле между методами приращений и дифференциалов имеются существенные параллели. Иначе говоря, оба метода в сущности представляют собой принципиально одно и то же.

Исходное уравнение можно переписать в следующем виде:

${\frac {dN(t)}{dt}}=aN(t)\Longleftrightarrow {\frac {dN(t)}{N(t)}}=a\,dt.$

Тогда дифференциальную форму dN/N можно преобразовать как d ln N:

$d\ln N(t)=a\,dt.$

Далее, можно избавиться от знаков дифференциала, взяв первообразные с одинаковым начальным моментом t₀:

$\int _{u=t_{0}}^{t}d\ln N(u)=a\int _{t_{0}}^{t}du\Longleftrightarrow \ln N(t)-\ln N(t_{0})=a(t-t_{0})\Longleftrightarrow N(t)=N(t_{0})e^{a(t-t_{0})}.$

Пример — гармонические колебания

В некоторых источниках понятию гармонических колебаний даётся одно из равносильных определений, в котором гармоническим колебанием по оси Ox вокруг начала координат называется колебание, при котором отклонение x прямо пропорциально ускорению a_x и противоположно ему по знаку. То есть имеется уравнение

${\ddot {x}}=-\omega ^{2}x,$

где ω, как будет показано, — циклическая частота.

Через приращения. Для решения уравнения можно переписать как

${\frac {1}{\Delta t}}\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}x+\epsilon (t,\Delta t),$

${\frac {\Delta x}{\Delta t}}\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}x\Delta x+\epsilon (t,\Delta t)\Delta x\quad \Longleftrightarrow \quad ({\dot {x}}+\epsilon _{2}(t,\Delta t))\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}x\Delta x+\epsilon (t,\Delta t)\Delta x\quad \Longleftrightarrow \quad {\dot {x}}\Delta {\dot {x}}+\epsilon _{2}(t,\Delta t)\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}x\Delta x+\epsilon (t,\Delta t)\Delta x\quad \Longleftrightarrow \quad \Delta ({\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2})+\epsilon _{4}(t,\Delta t)\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}\Delta ({\frac {1}{2}}x^{2})+\epsilon _{3}(t,\Delta t)\Delta x.$

В ходе суммирования обеих частей последнего равенства с бесконечно малым шагом получаем уравнение в производных первого порядка:

${\frac {1}{2}}({\dot {x}}^{2}-v_{0x}^{2})=-\omega ^{2}{\frac {1}{2}}(x^{2}-x_{0}^{2}),$

${\dot {x}}=\pm {\sqrt {v_{0x}^{2}+\omega ^{2}x_{0}^{2}-\omega ^{2}x^{2}}}.$

Заменим выражение $\textstyle {\frac {\sqrt {v_{0x}^{2}+\omega ^{2}x_{0}^{2}}}{\omega }}$ на A:

${\frac {\Delta x}{\Delta t}}+\epsilon _{5}(t,\Delta t)=\pm \omega {\sqrt {A^{2}-x^{2}}},$

${\frac {\Delta x}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}+{\frac {\epsilon _{5}(t,\Delta t)\Delta t}{\pm {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}}}=\omega \Delta t,$

$\lim _{\Delta y\to 0}\sum _{y=x_{0}}^{x}{\frac {\Delta y}{\pm {\sqrt {A^{2}-y^{2}}}}}=\omega (t-t_{0}).$

Возьмём данную сумму относительно y/A:

$\lim _{\Delta y\to 0}\sum _{y=x_{0}}^{x}{\frac {\Delta (y/A)}{\pm {\sqrt {1-(y/A)^{2}}}}}=\omega (t-t_{0})$

чтобы применить табличную первообразную:

$\pm (\arccos {\frac {x}{A}}-\arccos {\frac {x_{0}}{A}})=\omega (t-t_{0}),$

$\pm \arccos {\frac {x}{A}}=\omega (t-t_{0})\pm \arccos {\frac {x_{0}}{A}},$

$x=A\cos(\omega t-\phi _{0}),$

где φ₀ = ωt₀ ± arccos(x₀/A).

Сравнительная таблица:

Приращения	Дифференциалы
${\frac {1}{\Delta t}}\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}x+\epsilon (t,\Delta t)$	${\frac {1}{dt}}d{\dot {x}}=-\omega ^{2}x$
${\frac {\Delta x}{\Delta t}}\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}x\Delta x+\epsilon (t,\Delta t)\Delta x$	${\frac {dx}{dt}}d{\dot {x}}=-\omega ^{2}x\,dx$
$({\dot {x}}+\epsilon _{2}(t,\Delta t))\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}x\Delta x+\epsilon (t,\Delta t)\Delta x$	${\dot {x}}\,d{\dot {x}}=-\omega ^{2}x\,dx$
$\Delta ({\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2})+\epsilon _{4}(t,\Delta t)\Delta {\dot {x}}=-\omega ^{2}\Delta ({\frac {1}{2}}x^{2})+\epsilon _{3}(t,\Delta t)\Delta x$	$d({\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2})=-\omega ^{2}d({\frac {1}{2}}x^{2})$
${\frac {\Delta x}{\Delta t}}+\epsilon _{5}(t,\Delta t)=\pm \omega {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$	${\frac {dx}{dt}}=\pm \omega {\sqrt {A^{2}-x^{2}}}$
$\lim _{\Delta y\to 0}\sum _{y=x_{0}}^{x}{\frac {\Delta (y/A)}{\pm {\sqrt {1-(y/A)^{2}}}}}=\omega (t-t_{0})$	$\int _{y=x_{0}}^{x}{\frac {d(y/A)}{\pm {\sqrt {1-(y/A)^{2}}}}}=\omega (t-t_{0})$

Пример — интегральные линии

Векторное поле {y, -x} вырисовывает концентрированные окружности

Дано векторное поле. Тогда интегральной линией данного поля называется кривая, к которой это поле направлено по касательной. Рассмотрим в качестве примера функцию F(x, y) = {y, −x}. Тогда по геометрическому смыслу дифференциала вектор {dx, dy} коллинеарен {y, −x} и мы получаем уравнение интегральных линий

$y'={\frac {-x}{y}}.$

Если точнее, то более справедливо будет раскрыть как

$yy'=-x,$

чтобы предупредить случай, когда y' стремится к бесконечности из-за y в знаменателе. Тогда:

${\frac {y\Delta y}{\Delta x}}+\epsilon (x,\Delta x)=-x$	${\frac {y\,dy}{dx}}=-x$
$y\Delta y+\epsilon (x,\Delta x)\Delta x=-x\Delta x$	$y\,dy=-x\,dx$
$\Delta ({\frac {1}{2}}y^{2})+\epsilon _{1}(x,\Delta x)\Delta x=\Delta (-{\frac {1}{2}}x^{2})+\epsilon _{2}(x,\Delta x)\Delta x$	$d({\frac {1}{2}}y^{2})=d(-{\frac {1}{2}}x^{2})$

${\frac {1}{2}}(y^{2}-y_{0}^{2})=-{\frac {1}{2}}(x^{2}-x_{0}^{2})$

$x^{2}+y^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}$

И в данном примере присутствует тонкий момент: если бы мы через приращения считали изначальное уравнение, то получилось бы

${\frac {\Delta y}{\Delta x}}+\epsilon _{3}(x,\Delta x)={\frac {-x}{y}}.$

Но из-за того, что есть риск, что y' обратится в бесконечность, между ε, ε₁, ε₂ с одной стороны и ε₃ с другой — возникает существенная разница:

$\lim _{\Delta x\to 0}\epsilon =\lim _{\Delta x\to 0}\epsilon _{1}=\lim _{\Delta x\to 0}\epsilon _{2}=0\neq \lim _{\Delta x\to 0}\epsilon _{3}$

при y = 0. Что любопытно, для интегральных линий данного поля число ε₃ при y = 0 не просто не стремится к 0, а, даже наоборот, отправляется к бесконечности (!).

См.также

• Инфинитезималь