Логарифм

График логарифма y=log₂(x)

Математика - Логарифм // Skill up

Логарифм (от греч. λόγος — «слово», «отношение» и ἀριθμός — «число») — показатель степени, в которую нужно возвести фиксированное число, которое называют основанием, чтобы оно стало равным заданному числу (от которого берется логарифм). Например, логарифм 1000 по основанию 10 равен 3, так как 1000 является 10 в степени 3: 1000 = 10³ = 10 × 10 × 10.

Более обще, если x = b^y, то y есть логарифм х по основанию b, что будет записано следующим образом: y = log_b(x). В частности, log₁₀(1000) = 3 (логарифм 1000 по основанию 10 равен 3). При этом числа x и b считаются неотрицательными вещественными и b не равно 1.

Основание b обычно считается фиксированным числом, и тогда логарифм представляет собой функцию переменной x.

Из определения логарифма, в частности, следует, что, $b^{\log _{b}x}=x$.

Применение логарифма

Логарифм был введён Джоном Непером в начале XVII века как средство для упрощения вычислений дат будущего конца света по Библии. Такое курьёзное начало использования логарифмов, не помешало их распространению в среде учёных, инженеров и других специалистов для выполнения практических вычислений с использованием логарифмической линейки и таблиц логарифмов. Это упрощение вычислений и применяемая для вычислений логарифмическая линейка опираются на тот факт, что логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).$

Современное определение введено Леонардом Эйлером, который связал логарифмы с экспонентами в XVIII веке.

Логарифм по основанию 10 называется десятичным логарифмом и имеет множество применений в области науки и техники. Натуральный логарифм имеет в качестве основания константу е (≈ 2,718) и широко используется в чистой математике, особенно в математическом анализе. Двоичный логарифм использует число 2 в качестве основания и применяется в информатике.

Логарифмы нашли широкое применение и в других областях. Например, децибел является логарифмической единицей количественного звукового давления и напряжения. Логарифмы встречаются в разнообразных научных формулах, а также при измерении сложности алгоритмов и геометрических объектов, называемых фракталами. Они описывают музыкальные интервалы, используются в формулах распределения простых чисел.

Комплексный логарифм

 → Логарифм комплексного числа

Логарифм можно определить для комплексных чисел. Далее подразумевается, что комплексный логарифм берется по основанию e. Являясь обратной функцией к возведению в степень, комплексный логарифм является обратной функцией к показательной функции, примененной к комплексным числам.

Комплексный логарифм числа z обозначается Ln z и формально определяется как решение w уравнения e^w = z.

Так как это уравнение при z не равном 0 имеет бесконечное число решений, то комплексный логарифм — многозначная аналитическая функция комплексного переменного.

Если z = r · e^iφ, то Ln z = ln r + iφ + 2πk, где ln r = ln |z| — вещественный натуральный логарифм, k — любое целое число.

Ссылки

• Colin Byfleet, Educational video on logarithms.
• Edward Wright, Translation of Napier’s work on logarithms.