Логарифм комплексного числа

Риманова поверхность для комплексного логарифма

ТФКП логарифм комплексного числа [0:41]

Логарифм комплексного числа (комплексный логарифм) — это решение уравнения вида e^z = c относительно комплексной переменной z. В теории функций комплексного переменного рассматривается как многозначная аналитическая функция.

Обозначения

x — действительная часть (абсцисса) числа;

y — мнимая часть (ордината) числа;

r — модуль комплексного числа;

φ — аргумент комплексного числа;

x + iy — комплексное число;

ln x — натуральный логарифм вещественного числа;

Ln(x + iy) — комплексный натуральный логарифм.

Формула

$Ln(x+iy)=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\left(arctg{\frac {y}{x}}+2\pi n\right),\ n\in \mathbb {Z} \Leftrightarrow$

$Ln\left[r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\right]=\ln r+i(\varphi +2\pi n),\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\ \varphi =arctg{\frac {y}{x}},\ n\in \mathbb {Z}$

Примеры:

$Ln(x)=\ln(x)+2\pi ni,\ x>0,\ n\in \mathbb {Z}$

$Ln(-x)=\ln(x)+(2n+1)\pi i,\ x>0,\ n\in \mathbb {Z}$

$Ln(iy)=\ln(y)+\left(2n+{\frac {1}{2}}\right)\pi i,\ y>0,\ n\in \mathbb {Z}$

$Ln(1)=2\pi ni,\ n\in \mathbb {Z}$

$Ln(-1)=(2n+1)\pi i,\ n\in \mathbb {Z}$

$Ln(i)={\frac {4n+1}{2}}\pi i,\ n\in \mathbb {Z}$

$Ln(-i)={\frac {4n-1}{2}}\pi i,\ n\in \mathbb {Z}$

См. также

• Выражение гиперболических функций через тригонометрические
• Выражение тригонометрических функций через гиперболические

Другие операции:

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• тригонометрические функции комплексных чисел;
• гиперболические функции комплексных чисел;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.623.