Сумма комплексных чисел
Сумма комплексных чисел — это результат операции сложения, примененной к паре комплексных чисел. Геометрически представляет собой комплексное число (вектор на плоскости) с координатами, равными сумме координат чисел-слагаемых, и направлением вектора, совпадающим с направлением главной (исходящей из начала координат) диагонали параллелограмма построенного на векторах этих чисел.
Содержание |
[править] Обозначения
Введём обозначения:
x1 — действительная часть (абсцисса) первого числа;
y1 — мнимая часть (ордината) первого числа;
x2 — действительная часть (абсцисса) второго числа;
y2 — мнимая часть (ордината) второго числа;
r1 — модуль первого числа;
φ1 — аргумент первого числа;
r2 — модуль второго числа;
φ2 — аргумент второго числа;
x1 + iy1 — первое комплексное число;
x2 + iy2 — второе комплексное число.
[править] Формула
- [math](x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \Leftrightarrow[/math]
- [math]\Leftrightarrow r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2),[/math]
- [math]r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}, \ r_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}, \ \varphi_1=arctg\frac{y_1}{x_1}, \ \varphi_2=arctg\frac{y_2}{x_2}[/math]
[править] Геометрическая интерпретация
Если представлять комплексные числа x+iy векторами (x; y) на плоскости, то сумма комплексных чисел — это сумма соответствующих векторов.
[править] Другие операции
- сложение чисел;
- вычитание чисел;
- умножение чисел;
- деление чисел;
- обращение числа;
- возведение в степень;
- извлечение квадратного корня;
- извлечение кубического корня;
- извлечение корня n-ой степени;
- логарифмирование числа;
- возведение в комплексную степень;
- взятие комплексно сопряжённого числа;
[править] Литература
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.3б.