Сумма комплексных чисел

Формула

Сумма комплексных чисел — это результат операции сложения, примененной к паре комплексных чисел. Геометрически представляет собой комплексное число (вектор на плоскости) с координатами, равными сумме координат чисел-слагаемых, и направлением вектора, совпадающим с направлением главной (исходящей из начала координат) диагонали параллелограмма построенного на векторах этих чисел.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ — мнимая часть (ордината) второго числа;

r₁ — модуль первого числа;

φ₁ — аргумент первого числа;

r₂ — модуль второго числа;

φ₂ — аргумент второго числа;

x₁ + iy₁ — первое комплексное число;

x₂ + iy₂ — второе комплексное число.

Формула

[math](x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2) \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)+r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)=(r_1\cos\varphi_1+r_2\cos\varphi_2)+i(r_1\sin\varphi_1+r_2\sin\varphi_2),[/math]

[math]r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}, \ r_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}, \ \varphi_1=arctg\frac{y_1}{x_1}, \ \varphi_2=arctg\frac{y_2}{x_2}[/math]

Геометрическая интерпретация

Если представлять комплексные числа x+iy векторами (x; y) на плоскости, то сумма комплексных чисел — это сумма соответствующих векторов.

Другие операции

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.3б.