Произведение комплексно сопряжённых чисел

Произведение комплексно сопряжённых чисел — это произведение комплексного числа на комплексно сопряжённое к нему. Представляет собой действительное число, равное сумме квадратов действительной и мнимой частей (или квадрату модуля) одного (любого) сомножителя.

Обозначения

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) комплексно сопряжённых чисел;

y — мнимая часть (ордината) первого числа;

−y — мнимая часть (ордината) второго числа;

r — модуль комплексно сопряжённых чисел;

φ — аргумент первого числа;

−φ — аргумент второго числа;

x + iy — первое комплексно сопряжённое число;

x − iy — второе комплексно сопряжённое число.

Формулы:

[math]\displaystyle{ (x+iy)\cdot(x-iy)=x^2+y^2 \Leftrightarrow (x+iy)\cdot\overline{x+iy}=x^2+y^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow (x+iy)\cdot(x-iy)=|x+iy|^2 \Leftrightarrow (x+iy)\cdot\overline{x+iy}=|x+iy|^2 \Leftrightarrow }[/math]

[math]\displaystyle{ \Leftrightarrow r(\cos\varphi+i\sin\varphi)\cdot r(\cos\varphi-i\sin\varphi)=r^2, \ r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \varphi=arctg\frac{y}{x} }[/math]

Другие операции:

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.