Деление комплексных чисел

Формула

Частное от деления комплексных чисел — это результат операции деления, примененной к паре комплексных чисел.

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — действительная часть (абсцисса) первого числа;

y₁ — мнимая часть (ордината) первого числа;

x₂ — действительная часть (абсцисса) второго числа;

y₂ — мнимая часть (ордината) второго числа;

r₁ — модуль первого числа;

φ₁ — аргумент первого числа;

r₂ — модуль второго числа;

φ₂ — аргумент второго числа;

x₁ + iy₁ — первое комплексное число;

x₂ + iy₂ — второе комплексное число.

Формула

[math]\frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_1^2+y_1^2}+i\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2} \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow \frac{r_1(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)}{r_2(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)}=\frac{r_1}{r_2}[\cos(\varphi_1-\varphi_2)+i\sin(\varphi_1-\varphi_2)],[/math]

[math]r_1=\sqrt{x_1^2+y_1^2}, \ r_2=\sqrt{x_2^2+y_2^2}, \ \varphi_1=arctg\frac{y_1}{x_1}, \ \varphi_2=arctg\frac{y_2}{x_2}[/math]

Формула следует из формулы обращения делителя (второго числа) и формулы для произведения (делимое умножается на обратное к делителю комплексное число).

Другие операции

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970, стр.3б.