Обращение комплексного числа

Формула

Обращение комплексного числа — это результат операции взятие обратного (по умножению) комплексного числа. Его можно представлять как результат операции деления 1 на исходное число и он равен нормированному сопряжённому исходному числу, делённому на модуль исходного числа.

Обозначения

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) числа;

y — мнимая часть (ордината) числа;

r — модуль комплексного числа;

φ — аргумент комплексного числа;

x + iy — комплексное число.

Формула

[math]\frac{1}{x+iy}=\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac{y}{x^2+y^2}\Leftrightarrow \frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\Leftrightarrow \frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{\left|x+iy\right|^2}\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\frac{1}{x+iy}=\frac{\overline {x+iy}}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{1}{x+iy}=\frac{\overline {x+iy}}{\left|x+iy\right|^2}\Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow\frac{1}{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)}=\frac{1}{r}(\cos\varphi-i\sin\varphi), \ r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \varphi=arctg\frac{y}{x}[/math]

Другие операции

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970, стр.3б.