Деление комплексно сопряжённых чисел

Частное от деления комплексно сопряжённых чисел — это результат деления комплексного числа на комплексно сопряжённое к нему. Представляет собой комплексное число, равное квадрату нормированного делимого.

Обозначения

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) комплексно сопряжённых чисел;

y — мнимая часть (ордината) первого числа;

−y — мнимая часть (ордината) второго числа;

r — модуль комплексно сопряжённых чисел;

φ — аргумент первого числа;

φ — аргумент второго числа;

x + iy — первое комплексно сопряжённое число;

x − iy — второе комплексно сопряжённое число.

Формулы:

[math]\frac{x+iy}{x-iy}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{x-iy}=\frac{(x+iy)^2}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\left(\frac{x+iy}{|x+iy|}\right)^2 \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\frac{(x+iy)^2}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\left(\frac{x+iy}{|x+iy|}\right)^2 \Leftrightarrow[/math]

[math]\Leftrightarrow \frac{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)}{r(\cos\varphi-i\sin\varphi)}=\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi, \ r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \varphi=arctg\frac{y}{x}[/math]

Другие операции:

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.