Деление комплексно сопряжённых чисел

Частное от деления комплексно сопряжённых чисел — это результат деления комплексного числа на комплексно сопряжённое к нему. Представляет собой комплексное число, равное квадрату нормированного делимого.

Обозначения

Введём обозначения:

x — действительная часть (абсцисса) комплексно сопряжённых чисел;

y — мнимая часть (ордината) первого числа;

−y — мнимая часть (ордината) второго числа;

r — модуль комплексно сопряжённых чисел;

φ — аргумент первого числа;

φ — аргумент второго числа;

x + iy — первое комплексно сопряжённое число;

x − iy — второе комплексно сопряжённое число.

Формулы:

${\frac {x+iy}{x-iy}}={\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {2xy}{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {x+iy}{x-iy}}={\frac {(x+iy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {x+iy}{\overline {x+iy}}}=\left({\frac {x+iy}{|x+iy|}}\right)^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\frac {x+iy}{\overline {x+iy}}}={\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}+i{\frac {2xy}{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {x+iy}{\overline {x+iy}}}={\frac {(x+iy)^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\Leftrightarrow {\frac {x+iy}{\overline {x+iy}}}=\left({\frac {x+iy}{|x+iy|}}\right)^{2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow {\frac {r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}{r(\cos \varphi -i\sin \varphi )}}=\cos 2\varphi +i\sin 2\varphi ,\ r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\ \varphi =arctg{\frac {y}{x}}$

Другие операции:

• сложение чисел;
• вычитание чисел;
• умножение чисел;
• деление чисел;
• обращение числа;
• возведение в степень;
• извлечение квадратного корня;
• извлечение кубического корня;
• извлечение корня n-ой степени;
• логарифмирование числа;
• возведение в комплексную степень;
• тригонометрические функции комплексных чисел;
• гиперболические функции комплексных чисел;
• взятие комплексно сопряжённого числа;
  • сложение комплексно сопряжённых чисел;
  • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
  • умножение комплексно сопряжённых чисел;
  • деление комплексно сопряжённых чисел;
  • обращение комплексно сопряжённого числа.