Деление комплексно сопряжённых чисел
Частное от деления комплексно сопряжённых чисел — это результат деления комплексного числа на комплексно сопряжённое к нему. Представляет собой комплексное число, равное квадрату нормированного делимого.
[править] Обозначения
Введём обозначения:
x — действительная часть (абсцисса) комплексно сопряжённых чисел;
y — мнимая часть (ордината) первого числа;
−y — мнимая часть (ордината) второго числа;
r — модуль комплексно сопряжённых чисел;
φ — аргумент первого числа;
φ — аргумент второго числа;
x + iy — первое комплексно сопряжённое число;
x − iy — второе комплексно сопряжённое число.
[править] Формулы:
- [math]\frac{x+iy}{x-iy}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{x-iy}=\frac{(x+iy)^2}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\left(\frac{x+iy}{|x+iy|}\right)^2 \Leftrightarrow[/math]
- [math]\Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}+i\frac{2xy}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\frac{(x+iy)^2}{x^2+y^2} \Leftrightarrow \frac{x+iy}{\overline{x+iy}}=\left(\frac{x+iy}{|x+iy|}\right)^2 \Leftrightarrow[/math]
- [math]\Leftrightarrow \frac{r(\cos\varphi+i\sin\varphi)}{r(\cos\varphi-i\sin\varphi)}=\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi, \ r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \varphi=arctg\frac{y}{x}[/math]
[править] Другие операции:
- сложение чисел;
- вычитание чисел;
- умножение чисел;
- деление чисел;
- обращение числа;
- возведение в степень;
- извлечение квадратного корня;
- извлечение кубического корня;
- извлечение корня n-ой степени;
- логарифмирование числа;
- возведение в комплексную степень;
- взятие комплексно сопряжённого числа;
- сложение комплексно сопряжённых чисел;
- вычитание комплексно сопряжённых чисел;
- умножение комплексно сопряжённых чисел;
- деление комплексно сопряжённых чисел;
- обращение комплексно сопряжённого числа.