Комплексные числа

Комплексные числа [25:38]

Комплексные числа — Алексей Савватеев / ПостНаука [11:26]

Телекинокурс. Высшая математика. Лекции 45-46. Комплексные числа. Фильм 01 (1973) [1:08:20]

Комплексная плоскость (в программе Wolfram Mathematica)

Комплексные числа (complexus — «соплетённый», составной, сложный) — математическая концепция чисел-сумм вещественного и чисто мнимого числа — вещественного множителя абстрактной квази-величины мнимая единица i, которая инверсивно определяется через утверждение, что её квадрат равен минус единице.

Более формально: комплексное число — это число, которое записывается в алгебраической форме в виде $a+b\cdot i$, где a и b — любые вещественные чи́сла, и считается, что для числа́ $i$ выполняется тождество $i^{2}=-1$.

Множество комплексных чисел в традиционной нотации обозначается зна́ком $\mathbb {C}$.

История

Комплексные числа появились в XVI веке, когда математики попытались решить квадратные уравнения с отрицательными дискриминантами (такие уравнения не имеют вещественных корней). Оказалось, что квадратный корень из отрицательного числа приходится извлекать при решении кубического уравнения по формуле, хотя все корни исходного кубического уравнения могут быть вещественными. Тогда же появилось описание действий над комплексными числами в их современном понимании (эти действия было необходимо проводить с комплексными числами для корректного решения кубического уравнения по формуле).

Значимый вклад в теорию комплексных чисел внес математик Леонард Эйлер (XVIII век), разработавший привычные алгебраическую, тригонометрическую и показательную записи комплексного числа. В XIX веке появилось отображение комплексных чисел на координатной плоскости, методы комплексного анализа.

Основная теорема алгебры утверждает, что всякий многочлен n-й степени с комплексными коэффициентами может быть разложен на n линейных сомножителей, и, таким образом, у всякого полиномиального уравнения n-й степени есть n корней в поле комплексных чисел с учетом их кратностей (до появления комплексных чисел у полиномиального уравнения могло не быть корней вовсе).

Свойства

В алгебраической форме комплексное число записывается как $a+b\cdot i$, где под $i$ понимается ${\sqrt {-1}}$, то есть выполняется тождество $i^{2}=-1$. Мнимая часть появляется при извлечении квадратного корня из отрицательного вещественного числа: ${\sqrt {-16}}={\sqrt {-1\cdot 16}}={\sqrt {16}}\cdot i=\pm 4\cdot i$.

Над комплексными числами можно проводить операции сложения (вычитания), умножения (по правилам перемножения многочленов), деления.

Формула деления комплексных чисел:

${\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {ac+bd}{c^{2}+d^{2}}}+{\frac {bc-ad}{c^{2}+d^{2}}}i$,

то есть для каждого ненулевого комплексного число можно найти обратное к нему по умножению.

Поэтому они образуют поле, которое расширяет поле вещественных чисел: $\mathbb {R} \subset \mathbb {C}$. Вещественные числа в этой модели — комплексные, коэффициент при мнимой части которых равен 0.

Пара сопряженных комплексных чисел является решением квадратного уравнения при $D<0$. Например, в уравнении Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x^2 + 6x + 34 = 0} имеем Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D = -100} ; в таком случае Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sqrt{D} = \pm 10i} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle i = \sqrt{-1}} . Решения уравнения, соответственно Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -3 \pm 5i} .

Сумма и произведение сопряженных комплексных чисел представляют собой вещественные числа.

Комплексные числа изучаются в специальном разделе математического анализа — комплексном анализе, в алгебре они доставляют пример алгебраически замкнутого поля, имеют значительное применение в физике.

Геометрическая интерпретация

Комплексное число z = a + bi может быть изображено точкой (a; b) на комплексной плоскости, на которой по оси x располагаются вещественные числа, по оси y — чисто мнимые.

Тригонометрическая форма отражает вектор, отложенный от начала координат до этой точки.

Тригонометрическая форма комплексного числа: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = \left | z \right | \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)} , где |z| («модуль z») — расстояние на комплексной плоскости от начала координат до точки, обозначающей число z, а «аргумент» Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi} = Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}} (если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a > 0} ), Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \pi + \operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}} (если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a < 0 \wedge b > 0} ) и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\pi + \operatorname{arctg}\ \frac{b}{a}} (если Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a < 0 \wedge b < 0} ).

При возведении комплексного числа в степень достаточно возвести только его модуль, а аргумент Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi} домножить на показатель степени:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z^k = \left ({\left | z \right | \cdot (\cos \varphi + i \sin \varphi)}\right )^k = \left | z \right |^k \cdot (\cos k\varphi + i \sin k\varphi)}

Показательная форма комплексного числа, открытая Эйлером: Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle z = r \cdot e^{i\varphi}} , где r — модуль комплексного числа, а Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \varphi}  — его аргумент.

Операции с комплексными числами

1. сложение чисел;
2. вычитание чисел;
3. умножение чисел;
4. деление чисел;
5. обращение числа;
6. возведение в степень;
7. извлечение квадратного корня;
8. извлечение кубического корня;
9. извлечение корня n-ой степени;
10. логарифмирование числа;
11. возведение в комплексную степень;
12. тригонометрические функции комплексных чисел;
13. гиперболические функции комплексных чисел;
14. взятие комплексно сопряжённого числа;
    • сложение комплексно сопряжённых чисел;
    • вычитание комплексно сопряжённых чисел;
    • умножение комплексно сопряжённых чисел;
    • деление комплексно сопряжённых чисел;
    • обращение комплексно сопряжённого числа.

Литература

• Абрамович М. И., Стародубцев М. Т. Математика (геометрия и тригонометрические функции). М., 1976.

Числовые системы ↑
Счётные множества	Натуральные числа (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{N}} ) • Целые (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{Z}} ) • Рациональные (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{Q}} ) • Алгебраические (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\overline{\mathbb{Q}}} ) • Периоды • Вычислимые
Действительные числа и их расширения	Действительные (вещественные) (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{R}} ) • Комплексные (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{C}} ) • Кватернионы (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{H}} ) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{O}} ) • Седенионы (Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \scriptstyle\mathbb{S}} ) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные
Прочие числовые системы	Кардинальные числа • Порядковые (трансфинитные, ординалы) • p-адические • Сверхнатуральные • Сюрреальные
Иные классы чисел	Двойные • Иррациональные • Трансцендентные • Числовой луч • Положительные числа • Простые числа • Бикватернионы • Координатизация • Расширение понятия числа