Множество
Множество, в повседневном смысле — набор, группа произвольных предметов; что угодно, кроме чего-то одного; обычно в достаточно крупном (по контексту) числе: не один и не два, а «много» предметов.
В логике множество — аксиоматический, формальный объект, который в общем соответствует интуициям о множественных наборах произвольных объектов, но притом же целиком подчинён аксиомам теории множеств. В таком смысле множество оказывается естественным средством для задач само́й логики, — в частности, для обоснования математики: на основе базовых законов логики и одного лишь понятия о множестве строятся доказательства, чи́сла, алгебры, пространства, категории…
Теория множеств[править]
Повседневному смыслу о некотором множестве вещей в теории множеств соответствуют конечные множества урэлементов, атомов, — то есть, элементов, не являющихся, в свою очередь, множествами. В контраст с этим, история теории множеств началась в работах Больцано и Кантора с рассуждений о бесконечных множествах объектов, — таких, как «все» натуральные числа или даже «все» вещественные числа .
Аксиоматика теории множеств в законченном виде сформировалась лишь в первой половине XX века. Как и любая математическая теория, она допускает вариации, однако, образцовой считается система аксиом Цермело — Френкеля с дополнительной аксиомой выбора (ZFC).
Множество — это объект, идентичность которого целиком определена через другие объекты, установленные в отношение принадлежности — ∈ — этому множеству. Если , то говорится, что икс является элементом A, принадлежит ему, А содержит икс, и так далее в том же роде. Этот объект может, в свою очередь, быть множеством; иначе, он является атомом, урэлементом, tertium non datur.
Принадлежность нетранзитивна: элемент, состоящий в некоем множестве, состоящем в другом множестве, в общем случае не принадлежит тому другому множеству.
Множество не просто «постоянно» в отношении содержимых там объектов, а по определению образуется через их совокупность: не имеет смысла «изменить множество» добавлением или изъятием элементов, ибо это станет иным множеством. Следовательно, каждое множество, будучи строго определено, имеет неизменное количество элементов, «размер». Эта величина называется мощностью. В случае конечных множеств она выражается одним из натуральных чисел.
Множество, содержащее некоторые из элементов другого множества, и никакие более, является его подмножеством, включено в него. Множество, подмножеством которого является данное, — это его надмножество.
Множество, содержащее лишь некоторые элементы другого множества, и помимо того ещё какие-то, пересекается с ним. Это соответствует логической конъюнкции: пересечение двух множеств образует множество с теми элементами, которые находятся в первом и во втором.
Множество, содержащее все элементы одного множества и все элементы другого, называется объединением: оно содержит элементы или одного, или другого. Возможно — обоих: элементы пересечения в объединении считаются по одному разу, ибо по определению множества один и тот же элемент может быть посчитан лишь один раз. Иначе строится объект мультимножество.
Класс — множество или нечто, ради избежания парадоксов отличаемое от множеств, где элементы не перечислены, а определены через предикат: — некоторое свойство, которым должны обладать все элементы класса, и не обладать все прочие объекты данного универсума. Например, на данном множестве, класс эквивалентности a, это подмножество, содержащее все элементы, эквивалентные a.
История[править]
Слово «множество» (по-немецки Menge) по отношению к абстрактным наборам формальных объектов впервые употреблено в работе Бернарда Больцано «Парадоксы бесконечного» от 1851 года,[1] где он закладывает философские начала исследования бесконечных множеств чисел.
Теоретическим основателем наивной теории множеств считается Георг Кантор.
В языке[править]
- Множественное число
- Приставки много-, поли- и мульти-
См. также[править]
Источники[править]
- ↑ «Парадоксы бесконечнаго», перевод от 1911 года.