Аксиомы Цермело — Френкеля

О доверии к Высшей Математике // Философский Штурм

Аксиомы Цермело — Френкеля — аксиона теории множеств Цермело—Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

К ним относятся:

• Аксиома объёмности: если все элементы одного множества принадлежат другому, и наоборот, то это одно и то же множество. (Критерий равенства множеств.)
• Аксиома регулярности: если во множестве состоит хотя бы один элемент, то оно содержит хотя бы одно подмножество, не содержащее с ним общих элементов.
• Схема выделения: для любого множества можно найти подмножество, состоящее из его элементов, удовлетворяющих данному предикату. («Схема» — это некоторый шаблон, выражение, порождающее аксиомы: в данном случае по одной аксиоме для каждого предиката.)
• Аксиома пары: при любых данных двух множествах, существует множество — (неупорядоченная) пара — содержащее только эти два множества.
• Аксиома объединения: объединение двух множеств всегда множество.
• Схема преобразования: из любого множества можно получить еще одно множество, где элементами будут решения функционального предиката к элементам исходного множества.
• Аксиома бесконечности: существует хотя бы одно бесконечное множество.
  $\exists \mathbf {I} \,(\emptyset \in \mathbf {I} \,\land \,\forall x\in \mathbf {I} \,(\,(x\cup \{x\})\in \mathbf {I} ))$
• Аксиома булеана: для каждого множества существует множество всех его подмножеств.
• Теорема полной упорядоченности, выводимая из аксиомы выбора и эквивалентная ей: если на множестве элементов определено бинарное отношение, то в каждом его подмножестве будет минимальный элемент относительно этого отношения. Иными словами, любое множество «можно» вполне упорядочить.