Теория множеств

Лекция 1. Теория множеств // Computer Science Center [1:41:36]

Аксиома выбора и парадоксы теории множеств // Философский Штурм [54:26]

Диаграмма Венна, иллюстрирующая пересечение двух множеств

Теория множеств в математической логике — исторически корневая дисциплина, изучающая семейство формальных систем, оперирующих над множествами. Каждая такая алгебра множеств отвечает требованиям той или иной аксиоматики теории множеств, — включая те, что необходимы для построения классической математики и разнообразных иных дисциплин формальной науки.

Современные исследования теории множеств были начаты Георгом Кантором и Рихардом Дедекиндом в 1870-х годах. После открытия парадоксов наивной теории множеств, в начале XX века были предложены многочисленные системы аксиом, среди которых самой известной является система Цермело-Френкеля с аксиомой выбора.

Наивная теория множеств

До второй половины XIX века понятие «множество» не рассматривалось как математическое («множество книг на полке», «множество человеческих добродетелей» и др. — все это бытовые обороты). Положение изменилось, когда немецкий математик Георг Кантор разработал свою программу стандартизации математики, в рамках которой любой математический объект должен быть тем или иным «множеством». Например, натуральное число с позиции Кантора следует рассматривать как множество, состоящее из единственного элемента другого множества, называемого «натуральным рядом», который, в свою очередь, сам является множеством, так как удовлетворяет так называемую аксиому Пеано. При этом общему понятию «множества», которое рассматривалось им как центральное для математики, Кантор давал весьма размытые определения, вроде «множество есть многое, мыслимое как единое», и т. д. Это полностью соответствовало намерению самого Кантора, который подчеркнуто называл свою программу не «теорией множеств», сам этот термин появился много позже, а «учением о множествах» (по-немецки: Mengenlehre).

Программа Кантора вызвала резкие протесты со стороны многих его современников-математиков. Особенно выделялся своим непримиримым к ней отношением Леопольд Кронекер, который считал, что математическими объектами могут считаться только натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится, известна его фраза о том, что «Бог создал натуральные числа, а все остальное — дело рук человеческих». Полностью отвергли теорию множеств и такие авторитетные математики, как Герман Шварц и Анри Пуанкаре. Однако, некоторые другие математики — в частности, Готлоб Фреге, Рихард Дедекинд и Давид Гильберт — поддержали Кантора в его намерении перевести всю математику на теоретико-множественный язык. В частности, теория множеств стала основой: теории меры, топологии, функционального анализа.

Однако вскоре выяснилось, что направление Кантора на отсутствие ограничений при операциях с множествами (выраженное им самим в принципе «сущность математики заключается в ее свободе») несовершенна изначально, а именно, был обнаружен ряд теоретико-множественных антиномий: оказалось, что при использовании теоретико-множественных представлений некоторые утверждения могут быть доказаны вместе со своими возражениями, а тогда, согласно правилам классической логики высказываний, может быть «доказано» абсолютно любое утверждение. Антиномии ознаменовали собой полный провал программы Кантора.

Литература

• Чечулин В. Л., Теория множеств с самопринадлежностью (основания и некоторые приложения), Издательство Пермского государственного университета, Пермь, 2010, 100 с. ISBN 978-5-7944-1468-4, (В непредикативной теории преодолены ограничения предикативных формальных систем, т. е. теорем Гёделя; текст доступен со страницы http://elibrary.ru/item.asp?id=15267103)