Тригонометрия
Тригонометрия — раздел классической математики, лежащий на пересечении алгебры и геометрии: система законов-функций, по которым на евклидовой плоскости соотносятся стороны и углы треугольников.
Тригонометрия основывается на соотношении подобия. Треугольники с двумя равными углами подобны, поэтому подобны прямоугольные треугольники, в которых равен один острый угол. Отношение длин сторон у подобных треугольников одинаковое, поэтому отношение сторон прямоугольных треугольников зависит только от одного параметра — величины острого угла. Это обстоятельство позволяет обозначить тригонометрические функции: синус, косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс, через отношение различных сторон прямоугольного треугольника.
Исторические сведения[править]
Некоторые сведения о науке, позже получившей название «тригонометрия», были еще у древних египтян. В папирусе Ахмеса есть пять задач, касающихся измерения пирамид, в которых упоминается какая-то функция угла — «сект». Есть мнение, что «сект» обозначает котангенс угла. Применение этой функции носило сугубо практическую причину: египетские архитекторы строили пирамиды, строго придерживаясь одного и того же значения угла наклона боковой грани к основанию (52°) и угла между ребром и диагональю основания (42°). А для этого надо было знать соответствующие отношения между линейными элементами четырехугольной пирамиды.
Вавилоняне так же имели некоторые знания об этой области математики: они ввели разделение круга на 360° и разделение градуса на 60 частей, что соответствовало принятой в древней Месопотамии шестидесятеричной системе счисления. Для измерения углов вавилоняне пользовались примитивной астролябией.
Древние греки умели решать многие тригонометрические задачи, но они применяли геометрические, а не алгебраические методы.
Тригонометрическую функцию синус впервые ввели древние индийцы в трактате «Сурья-сиддханта». Свойства этой функции исследовал индийский математик 5 века Ариабхата[1]. Дальнейший вклад в развитие тригонометрии сделали арабские математики. До 10 века они апеллировали всеми тригонометрическими функциями и протабулировали их. В Европу понятие тригонометрических функций пришло с переводами трудов ал-Баттани и Ат-Туси. Одной из первых работ европейской математики, посвященных тригонометрии была книга «De Triangulis» немецкого математика 15 века Региомонтана. Однако, еще в 16 веке тригонометрия была мало известна. Коперник вынужден был посвятить ее описанию 2 отдельных раздела в своей работе «Об обращении небесных сфер» (лат. «De revolutionibus orbium coelestium»).
Быстрое дальнейшее развитие тригонометрии было обусловлено требованиями навигации и картографии[2]. Сам термин тригонометрия ввел, опубликовав в 1595 книгу под таким же названием, немецкий математик Варфоломей Питиск (нем. Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613)[3]. Гемма Фризий описал метод триангуляции.
Со становлением математического анализа тригонометрия получила новые методы. Благодаря трудам Брука Тейлора и Колина Маклорена тригонометрические функции получили представление в виде рядов[4]. Формула Муавра установила связь между тригонометрическими функциями и экспонентой. Леонард Эйлер расширил определение тригонометрических функций на комплексную плоскость.
Тригонометрические функции[править]
- Синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенс — отношение прилежащего катета к противолежащему.
- Секанс — отношение гипотенузы к прилежащему катету.
- Косеканс — отношение гипотенузы к противолежащему катету.
Данные определения позволяют вычислить значения функций для острых углов, то есть от 0° до 90° (от 0 до радиан). В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось. Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса (см. рисунок) и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим A. Тогда:
- Синус угла определяется как ордината точки A.
- Косинус — абсцисса точки A.
- Тангенс — отношение синуса к косинусу.
- Котангенс — отношение косинуса к синусу (то есть величина, обратная тангенсу).
- Секанс — величина, обратная косинусу.
- Косеканс — величина, обратная синусу.
Для острых углов новые определения совпадают с прежними.
Свойства функции синус[править]
- Область определения функции — множество всех действительных чисел: .
- Множество значений — промежуток [−1; 1]: = [−1;1].
- Функция является нечётной: .
- Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .
- График функции пересекает ось Ох при .
- Промежутки знакопостоянства: при и при .
- Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
- Функция возрастает при , и убывает при .
- Функция имеет минимум при и максимум при .
Свойства функции косинус[править]
- Область определения функции — множество всех действительных чисел: .
- Множество значений — промежуток [−1; 1]: = [−1;1].
- Функция является чётной: .
- Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .
- График функции пересекает ось Ох при .
- Промежутки знакопостоянства: при и при
- Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
- Функция возрастает при и убывает при
- Функция имеет минимум при и максимум при
Свойства функции тангенс[править]
- Область определения функции — множество всех действительных чисел: , кроме чисел
- Множество значений — множество всех действительных чисел:
- Функция является нечётной: .
- Функция периодическая, наименьший положительный период равен : .
- График функции пересекает ось Ох при .
- Промежутки знакопостоянства: при и при .
- Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения:
- Функция возрастает при .
Свойства функции котангенс[править]
- Область определения функции — множество всех действительных чисел: кроме чисел
- Множество значений — множество всех действительных чисел:
- Функция является нечётной:
- Функция периодическая, наименьший положительный период равен :
- График функции пересекает ось Ох при
- Промежутки знакопостоянства: при и при
- Функция непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента из области определения:
- Функция убывает при
Основные теоремы тригонометрии[править]
Определенные для прямоугольного треугольника тригонометрические функции позволяют решать произвольные треугольники с использованием основных теорем: теоремы синусов, теоремы косинусов и теоремы тангенсов.
Теорема синусов[править]
Теорема синусов утверждает, что отношение синуса угла к длине противоположной стороны треугольника одинакова для всех углов треугольника. Для плоского треугольника со сторонами и соответствующими противоположными них углами можно записать:
где — радиус описанной окружности вокруг треугольника.
Теорема косинусов[править]
По теореме косинусов, квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. Для плоского треугольника со сторонами и углом , между сторонами :
или:
Теорема косинусов позволяет определить длину третьей стороны треугольника, если известны длины двух сторон и значение угла между ними.
Теорема тангенсов[править]
Теорема тангенсов — теорема о соотношении между двумя сторонами произвольного треугольника и тангенса полусуммы и полуразности противоположных к ним углов, которая записывается уравнением (формула Региомонтана):
Площадь треугольника[править]
Площадь треугольника тоже может быть определена через тригонометрические функции: она равна половине произведения прилегающих сторон на синус угла между ними:
Простейшие тригонометрические уравнения[править]
Уравнения, в которых фигурируют тригонометрические функции, называют тригонометрическими. Самые простые из них имеют аналитические решения, благодаря существованию обратных тригонометрических функций. Поскольку тригонометрические функции периодические, такие решения не единственные, а определяются с точностью до периода.
Формулы преобразования тригонометрических выражений[править]
Синус и косинус суммы/разности:
Сумма/разность синусов и косинусов:
Сферическая тригонометрия[править]
Сферическая тригонометрия — раздел сферической геометрии, главными объектами которого являются многоугольники (особенно треугольники) на сфере и соотношение между сторонами и углами. Возникновение сферической геометрии связано с задачами сферической астрономии.
Основными элементами сферической геометрии являются точки и большие круги сферы. Большие круги являются геодезическими линиями сферы, поэтому они в сферической геометрии играют роль, аналогичную роли прямых в планиметрии. Расстояние между двумя точками в сферической геометрии измеряется углом между радиусами сферы, проведенными в эти точки. Угол между двумя «прямыми» равен двугранному углу между плоскостями больших кругов, которые определяют эти «прямые». Две любые «прямые» в сферической геометрии пересекаются в двух точках и разбивают поверхность сферы на 4 двуугольника. Три «прямые», пересекаясь попарно, образуют 8 сферических треугольников. Эти треугольники имеют много необычных свойств, которые отличают их от плоских треугольников. Например, сумма углов сферического треугольника всегда больше 180° и меньше 540°.
Стороны и углы сферического треугольника связаны зависимостями:
где — стороны сферического треугольника; — углы, противоположные этим сторонам; — радиус сферы.
Сферическая тригонометрия очень важна в астрономических вычислениях (небесной механике), а также в орбитальной, космической навигации и навигации на поверхности Земли.
См.также[править]
Источники[править]
- ↑ Boyer Carl B. A History of Mathematics. — Second Edition. — John Wiley & Sons, Inc., 1991. — P. 215. — ISBN 0471543977.
- ↑ Grattan-Guinness Ivor The Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences. — W.W. Norton, 1997. — ISBN 0-393-32030-8.
- ↑ Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries
- ↑ William Bragg Ewald (2008).From Kant to Hilbert: a source book in the foundations of mathematics. Oxford University Press US. p.93. ISBN 0-19-850535-3
Литература[править]
- Андронов И. К., Окунев А. К. Курс тригонометрии, развиваемый на основе реальных задач. — М.: Просвещение, 1967. — 648 с.
- Волынский Б. А. Сферическая тригонометрия. — М.: Наука, 1977. — 136 с.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1984. — 830 c.
Ссылки[править]
- Динамические математические модели FIZMA.neT
- David Joyce Dave’s Short Course in Trigonometry (Университет Кларка) (англ.)
- Michael Corral Trigonometry. Covers elementary trigonometry (Distributed under GNU Free Documentation License) (англ.)
↑ [+] | |
---|---|