Площадь (геометрия)

Прямоугольник 5x4 имеет площадь 20

Математика, 2016. Планиметрия. Площади фигур.(30.11.15). sibege.ru [1:32:04]

Площадь — величина, определяющая размер поверхности, одно из основных свойств геометрических фигур. Исторически, вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Площадь несложных геометрических фигур определяют, подсчитывая количество единичных квадратов, которыми фигуры можно покрыть.

Площадь принято обозначать большой латинской буквой S, в англоязычной литературе — буквой A от англ. area.

Формальное определение

Площадью в планиметрии может называться любая величина, удовлетворяющая условиям:

• она неотрицательная (не меньше нуля);
• она аддитивная (площадь объединения двух фигур, которые не пересекаются, является сумма площадей двух фигур);
• для равных (конгруэнтных) фигур она одинакова;
• для квадрата со стороной 1 она принимается равной 1.

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого числа единичных квадратов, а также для трехмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода и может быть вычислена с помощью интегрирования.

Площадь в аналитической геометрии

Аналитическая геометрия позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами, оперируя такими понятиями как система координат, вектор. Плоскость в трехмерном пространстве имеет две поверхности. Площади двух поверхностей обозначаются с противоположными знаками. Поскольку ориентация поверхности задается вектором нормали к ней, то площадь тоже определяют как вектор, коллинеарной нормали к поверхности.

Например, для параллелограмма, построенного на векторах $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ площадь определяется как векторное произведение:

$\mathbf {S} =[\mathbf {a} \times \mathbf {b} ]$.

При изменении порядка множителей в этой формуле, $\mathbf {S}$ меняет знак, соответствующий нормалям для двух разных сторон поверхности. Как произведение двух векторов $\mathbf {S}$ является псевдовектором — при изменении направления каждого из векторов $\mathbf {a}$ и $\mathbf {b}$ на противоположный, $\mathbf {S}$ направление не меняет.

Формулы вычисления площадей простейших фигур

Многоугольники

Фигура	Формула	Переменные
Правильный треугольник	$a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$a$ — длина стороны треугольника
Прямоугольный треугольник	${\frac {ab}{2}}$	$a$ и $b$ — катеты треугольника
Произвольный треугольник	${\frac {1}{2}}ah$	$a$ — сторона треугольника, $h$ — высота, проведённая к этой стороне
	${\frac {1}{2}}ab\sin \alpha$	$a$ и $b$ — любые две стороны, $\alpha$ — угол между ними
	${\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$ (формула Герона)	$a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $p$ — полупериметр $\left(p={\frac {a+b+c}{2}}\right)$
	${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{vmatrix}}$	$(x_{0};y_{0})$, $(x_{1};y_{1})$, $(x_{2};y_{2})$ — координаты вершин треугольника (в случае обхода вершин по часовой стрелке получим положительный результат, иначе отрицательный)
Квадрат	$a^{2}$	$a$ — длина стороны квадрата
Прямоугольник	$ab$	$a$ и $b$ — длины сторон прямоугольника (его длина и ширина)
Ромб	${\frac {1}{2}}cd$	$c$ и $d$ — длины диагоналей ромба
Параллелограмм	$ah$	$a$ и $h$ — длины стороны и опущенной на неё высоты соответственно
	$ab\sin \alpha$	$a$ и $b$ — соседние стороны параллелограмма, $\alpha$ — угол между ними
Трапеция	${\frac {1}{2}}(a+b)h$	$a$ и $b$ — основания трапеции, $h$ — высота трапеции
Произвольный четырёхугольник	${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcd\cos \alpha }}$ (формула Брахмагупты)	$a$, $b$, $c$, $d$ — стороны четырёхугольника, $p$ — его полупериметр, $\alpha$ — полусумма противолежащих углов четырёхугольника
Правильный шестиугольник	$a^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$	$a$ — длина стороны шестиугольника
Правильный восьмиугольник	$2a^{2}(1+{\sqrt {2}})$	$a$ — длина стороны восьмиугольника
Правильный многоугольник	${\frac {P^{2}/n}{4\operatorname {tg} (\pi /n)}}$	$P$ — периметр, $n$ — количество сторон
Произвольный многоугольник (выпуклый и невыпуклый)	${\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i+1}-x_{i})(y_{i+1}+y_{i})\right|$ (метод трапеций)	$(x_{i};y_{i})$ — координаты вершин многоугольника в порядке их обхода, замыкая последнюю с первой: $(x_{n+1};y_{n+1})=(x_{1};y_{1})$; при наличии отверстий направление их обхода противоположно обходу внешней границы многоугольника

Площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур

Фигура	Формула	Переменные
Круг	$\pi r^{2}$ или ${\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$ — радиус, $d$ — диаметр круга
Сектор круга	${\frac {\alpha r^{2}}{2}}$	$r$ — радиус круга, $\alpha$ — центральный угол сектора (в радианах)
Сегмент круга	${\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )$	$r$ — радиус круга, $\alpha$ — центральный угол сегмента (в радианах)
Эллипс	$\pi ab$	$a$, $b$ — большая и малая полуоси эллипса
Треугольник, вписанный в окружность	${\frac {abc}{4R}}$	$a$, $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус описанной окружности
Четырёхугольник, вписанный в окружность	${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$ (формула Брахмагупты)	$a$, $b$, $c$, $d$ — стороны четырёхугольника, $p$ — его полупериметр
Многоугольник, описанный около окружности	${\frac {1}{2}}Pr$	$r$ — радиус окружности, вписанной в многоугольник, $P$ — периметр многоугольника
Прямоугольная трапеция, описанная около окружности	$ab$	$a$, $b$ — основания трапеции

Площади поверхностей тел в пространстве

Тело	Формула	Переменные
Полная поверхность цилиндра	$2\pi r(r+h)$	$r$ и $h$ — радиус и высота соответственно
Боковая поверхность цилиндра	$2\pi rh$
Полная поверхность конуса	$\pi r(l+r)$	$r$ и $l$ — радиус и образующая боковой поверхности соответственно
Боковая поверхность конуса	$\pi rl$
Поверхность сферы (шара)	$4\pi r^{2}$ или $\pi d^{2}$	$r$ и $d$ — радиус и диаметр соответственно

Единицы измерения площади

Метрические единицы

• Квадратный километр, 1 км² = 1 000 000 м²
• Гектар, 1 га = 10 000 м²
• Ар (сотка), 1 а = 100 м²
• Квадратный метр, производная единица системы СИ 1 м² = 1 са (сантиар)
• Квадратный дециметр, 100 дм² = 1 м²;
• Квадратный сантиметр, 10 000 см² = 1 м²;
• Квадратный миллиметр, 1 000 000 мм² = 1 м²;