Площадь (геометрия)

Прямоугольник 5x4 имеет площадь 20

Математика, 2016. Планиметрия. Площади фигур.(30.11.15). sibege.ru [1:32:04]

Площадь — величина, определяющая размер поверхности, одно из основных свойств геометрических фигур.

Исторически, вычисление площади называлось квадратурой. Фигура, имеющая площадь, называется квадрируемой. Площадь несложных геометрических фигур определяют, подсчитывая количество единичных квадратов, которыми фигуры можно покрыть.

Площадь принято обозначать большой латинской буквой S, в англоязычной литературе — буквой A от англ. area.

Формальное определение[править]

Площадью в планиметрии может называться любая величина, удовлетворяющая условиям:

она неотрицательная (не меньше нуля);
она аддитивная (площадь объединения двух фигур, которые не пересекаются, является сумма площадей двух фигур);
для равных (конгруэнтных) фигур она одинакова;
для квадрата со стороной 1 она принимается равной 1.

Для фигур на плоскости, не состоящих из целого числа единичных квадратов, а также для трехмерных поверхностей, площадь определяется с помощью предельного перехода и может быть вычислена с помощью интегрирования.

Площадь в аналитической геометрии[править]

Аналитическая геометрия позволяет решать геометрические задачи алгебраическими методами, оперируя такими понятиями как система координат, вектор. Плоскость в трехмерном пространстве имеет две поверхности. Площади двух поверхностей обозначаются с противоположными знаками. Поскольку ориентация поверхности задается вектором нормали к ней, то площадь тоже определяют как вектор, коллинеарной нормали к поверхности.

Например, для параллелограмма, построенного на векторах Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{a} } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{b} } площадь определяется как векторное произведение:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{S} = [\mathbf{a} \times \mathbf{b}] } .

При изменении порядка множителей в этой формуле, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{S} } меняет знак, соответствующий нормалям для двух разных сторон поверхности. Как произведение двух векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{S} } является псевдовектором — при изменении направления каждого из векторов Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{a} } и Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{b} } на противоположный, Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{S} } направление не меняет.

Формулы вычисления площадей простейших фигур[править]

Многоугольники[править]

Площади круга, его частей, описанных и вписанных в круг фигур[править]

Фигура	Формула	Переменные
Круг	$\pi r^{2}$ или ${\frac {\pi d^{2}}{4}}$	$r$ — радиус, $d$ — диаметр круга
Сектор круга	${\frac {\alpha r^{2}}{2}}$	$r$ — радиус круга, $\alpha$ — центральный угол сектора (в радианах)
Сегмент круга	${\frac {r^{2}}{2}}(\alpha -\sin \alpha )$	$r$ — радиус круга, $\alpha$ — центральный угол сегмента (в радианах)
Эллипс	$\pi ab$	$a$ , $b$ — большая и малая полуоси эллипса
Треугольник, вписанный в окружность	${\frac {abc}{4R}}$	$a$ , $b$ и $c$ — стороны треугольника, $R$ — радиус описанной окружности
Четырёхугольник, вписанный в окружность	${\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$ (формула Брахмагупты)	$a$ , $b$ , $c$ , $d$ — стороны четырёхугольника, $p$ — его полупериметр
Многоугольник, описанный около окружности	${\frac {1}{2}}Pr$	$r$ — радиус окружности, вписанной в многоугольник, $P$ — периметр многоугольника
Прямоугольная трапеция, описанная около окружности	$ab$	$a$ , $b$ — основания трапеции

Площади поверхностей тел в пространстве[править]

Тело	Формула	Переменные
Полная поверхность цилиндра	$2\pi r(r+h)$	$r$ и $h$ — радиус и высота соответственно
Боковая поверхность цилиндра	$2\pi rh$	$r$ и $h$ — радиус и высота соответственно
Полная поверхность конуса	$\pi r(l+r)$	$r$ и $l$ — радиус и образующая боковой поверхности соответственно
Боковая поверхность конуса	$\pi rl$
Поверхность сферы (шара)	$4\pi r^{2}$ или $\pi d^{2}$	$r$ и $d$ — радиус и диаметр соответственно