Радиан

Что такое радиан? // LifeTensor [9:27]

Длина дуги и радианная мера // KhanAcademyRussian [2:39]

Радиан (в математике и физике) — это единица измерения плоскостных углов, принятая в Международной системе единиц СИ.

Один радиан — это плоскостной угол, образованный двумя радиусами, так, что длина дуги между ними точно равна радиусу окружности. То есть, измерение угла в радианах показывает во сколько раз длина дуги окружности, опирающейся на этот угол, отличается от его радиуса.

Радиан является безразмерной единицей измерения и имеет обозначение рад (международное — rad), но, как правило, при написании это обозначение не пишется. При измерении углов в градусах используют обозначения °, для того чтобы отличить их от радианов.

Пояснение

Полная длина окружности равна 2πr, где r — радиус окружности. Поэтому полный круг является углом в 2π ≈ 6,28319 радиан. Преобразование радианов в градусы и наоборот осуществляется следующим образом:

2π рад = 360°,

1 рад = 360°/(2π) = 180°/π ≈ 57,29578°.

360° = 2π рад,

1° = 2π/360 рад = π/180 рад.

Свойства

Широкое применение радианов в математическом анализе обусловлено тем, что выражения с тригонометрическими функциями, аргументы которых измеряются в радианах, приобретают максимально простой вид (без числовых коэффициентов). Например, используя радианы, получим простое тождество («первый замечательный предел»):

$\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {\sin h}{h}}=1,$

что лежит в основе многих элегантных формул в математике.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, равен самому углу, что удобно при приближенных вычислениях.

Косинус малого угла, выраженного в радианах, приблизительно равен:

$\cos(x)\approx 1-{\frac {x^{2}}{2}}$

Размерность

Радиан есть безразмерной единицей измерения. То есть числовое значение угла, измеренного в радианах, лишено размерности. Это легко видеть из самого определения радиана, как отношения длины окружности к радиусу. Согласно рекомендациям Международного бюро мер и весов радиан интерпретируется как единица с размерностью 1 = м·м⁻¹ (м/м, то есть метр на метр — числитель и знаменатель возможно сократить, то есть оно не имеет размерности).

Иначе, безразмерность радиана можно видеть по выражению ряда Тейлора для тригонометрической функции sin(x):

$\sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots .$

Если бы x имел размерность, тогда эта сумма была бы лишена смысла — линейное слагаемое x нельзя было бы добавить к кубическому x³/3!, как величины разных размерностей. Итак, x должен быть безразмерным.

См. также

• Стерадиан
• Число тау, предложенное как более естественная альтернатива числа пи