Синус (функция)

← другие значения

Синус — тригонометрическая функция, представляющая собой коэффициент перевода наклонной r в проекцию y на ось Oy, перпендикулярную к полярной Ox, с положительным направлением которой эта наклонная составляет угол φ.

Если φ зафиксировать, то определение не будет зависеть от r, что следует из признаков подобия треугольников. Таким образом, синус можно воспринимать как свойство самого угла.

0—90 градусов

Синус и косинус // GetAClass — Просто математика [13:37]

Поначалу в школах преподаётся очень узкое определение тригонометрических функций — для углов от 0° до 90° и всё дело ограничивается прямоугольным треугольником. Итак, в прямоугольном треугольнике синусом угла φ, противолежащего катету y, называется отношение этого катета к гипотенузе r:

$\sin \phi ={\frac {y}{r}}.$

0—180 градусов

Если взять прямоугольную систему Oxy и ввести на ней единичную полуокружность, лежащую на полуплоскости y ≥ 0, то единичной полуокружностью называют дугу окружности радиуса 1 с центром в (0; 0). Если провести из точки (0; 0) луч, образующий с положительным направлением оси Ox угол φ между 0° и 180° и пересекающий эту полуокружность в точке (x, y), то синусом этого угла называется ордината данной точки:

$\sin \phi =y.$

Именно через единичную (полу-)окружность это определение и подаётся в классическом виде вплоть до обобщения до любого вещественного угла. Такое определение отвлекает от первозданного смысла тригонометрических функций как функций, предназначенных связывать углы и пропорции сторон и разрушает связь между синусом для 0°−180° и таким же синусом для 0°−90°.

Возможно другое определение, которое будет представлять собой обобщение первого. Для этого снова берут систему Oxy и вектор r, служащий наклонной. Ось Oy здесь пригодится скорее косвенно: в определении синуса будет задействована не сама проекция вектора r на Oy, а её модуль. Ориентация этой проекции не должна представлять интереса — можно было бы вместо оси Oy брать просто прямую Oy и проецировать на неё. В итоге синусом угла φ между вектором r и положительным направлением оси Ox называют отношение модуля |y| проекции на Oy к модулю r:

$\sin \phi ={\frac {|y|}{r}}.$

0—360 градусов

В отличие от косинуса для синуса разница между тем, считать угол φ между r и Ox как находящийся между 0° и 180° или же как находящийся между 180° и 360°, существенна. Чтобы её понять, введём ориентацию угла φ, а угол φ будем рассматривать всегда как направленный от полярной оси Ox к r. Так мы задаём разницу между углом φ, находящимся между +0° и +180°, и углом φ, расположенным между +180° и +360°. Далее, в строгом смысле для введения ориентации угла φ, помимо полярной оси Ox, требуется перпендикулярная ось Oy. Тогда получается определение, что синус угла φ от Ox к r — это отношение проекции y к модулю r:

$\sin \phi ={\frac {y}{r}}.$

Визуально видно, что при положении угла φ между 0° и 180° проекция y является ≥ 0, тогда как между 180° и 360° игрек становится ≤ 0.

Вещественный угол

Введя ориентацию угла φ, мы видим, что при обобщении третьего определения до любого действительного аргумента ситуация мало как меняется: просто в случае в любым вещественным углом мы имеем дело с периодичностью вращения. То есть синус угла φ от Ox к r — это опять-таки отношение проекции y к модулю r

$\sin \phi ={\frac {y}{r}}.$

Любопытно, что если ориентированный угол честно раскрыть по своему определению прямо внутри синуса, то синус сведётся к косинусу:

$\sin \angle (Ox,\mathbf {r} )=\cos \angle |Oy,\mathbf {r} |,$

где ∠(Ox, r) — ориентированный угол от Ox к r, а ∠|Oy, r| — абсолютный угол между Oy и r, что представляет собой не что иное, как формулу приведения. К сожалению, таким вот образом свести синус ориентированного угла к синусу абсолютного угла или косинус ориентированного угла к синусу абсолютного угла объективно невозможно.

Комплексный угол

График комплексного синуса

Для вещественных углов формула Эйлера:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

является теоремой. Однако при обобщении на невещественные числа это принимается как определение, а именно — как обобщение тригонометрических функций на комплексные числа. Как из этой формулы выразить синус, чтобы получить это определение? Для этого договоримся, что основное тригонометрическое тождество при таком обобщении тоже будет сохраняться. Тогда

$e^{-xi}={\frac {1}{\cos x+i\sin x}}={\frac {\cos x-i\sin x}{(\cos x+i\sin x)(\cos x-i\sin x)}}={\frac {\cos x-i\sin x}{\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}}=\cos x-i\sin x,$

а значит,

${\frac {1}{2i}}(e^{ix}-e^{-ix})=\sin x.$

Именно это принято за комплексное определение синуса.

См. также

• Теорема синусов