Тригонометрические формулы приведения

Формулы приведения — как их легко выучить! // Евгений Народницкий [12:23]

Тригонометрические формулы приведения — это формулы эквивалентных преобразований тригонометрических функций произвольных углов, показывающие, как преобразуются функции при добавлении аргумента, кратного π/2. Позволяют вычислить значения тригонометрических функций любого аргумента, если известны значения основных тригонометрических функций в интервале от 0 до π/2.

Формулы

sin α

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin(\alpha + \frac\pi2n) = \begin{cases} \sin\alpha, & n = 4k, \\ \cos\alpha, & n = 4k+1, \\ -\sin\alpha, & n = 4k+2, \\ -\cos\alpha, & n = 4k+3, \end{cases} \quad k\in\mathbb Z}

cos α

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(\alpha + \frac\pi2n) = \begin{cases} \cos\alpha, & n = 4k, \\ -\sin\alpha, & n = 4k+1, \\ -\cos\alpha, & n = 4k+2, \\ \sin\alpha, & n = 4k+3, \end{cases} \quad k\in\mathbb Z}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos(-\alpha + \frac\pi2n) = \begin{cases} \cos\alpha, & n = 4k, \\ \sin\alpha, & n = 4k+1, \\ -\cos\alpha, & n = 4k+2, \\ -\sin\alpha, & n = 4k+3, \end{cases} \quad k\in\mathbb Z}

tg α

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{tg}(\alpha + \frac\pi2n) = \begin{cases} \text{tg }\alpha, & n = 2k, \\ -\text{ctg }\alpha, & n = 2k+1,\end{cases} \quad k\in\mathbb Z}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{tg}(-\alpha + \frac\pi2n) = \begin{cases} -\text{tg }\alpha, & n = 2k, \\ \text{ctg }\alpha, & n = 2k+1,\end{cases} \quad k\in\mathbb Z}

ctg α

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{ctg}(\alpha + \frac\pi2n) = \begin{cases} \text{ctg }\alpha, & n = 2k, \\ -\text{tg }\alpha, & n = 2k+1,\end{cases} \quad k\in\mathbb Z}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \text{ctg}(-\alpha + \frac\pi2n) = \begin{cases} -\text{ctg }\alpha, & n = 2k, \\ \text{tg }\alpha, & n = 2k+1,\end{cases} \quad k\in\mathbb Z}

Классической метод

Вместо заучивания этих формул есть классический способ, состоящий из двух шагов:

1. если в исходной функции к переменной x прибавлен угол, нечётно кратный прямому углу, то исходную функцию нужно поменять на «комплементарную» (синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс <…>) — в противном случае сохранить;
2. перед полученной функцией ставим тот знак (плюс/минус), какой имеет исходная функция при иксе, если x между 0 и π/2.

Шаг 1 можно упростить: если к x прибавляется угол, на тригонометрической окружности соответствующий точке снизу/сверху, то киваем головой снизу вверх, — значит, «да, меняем функцию на „комплементарную“!». В противном случае киваем слева направо.

Во втором шаге смысл условия, что икс должен быть в первой четверти, очень прост: дело в том, что конечная функция от такого икса всегда имеет неотрицательный знак. Следовательно, чтобы «откаблировать» эту функцию знаком и получить корректное приведение тригонометрической функции, нужно просто посмотреть, какой знак примет исходная функция при x от 0 до π/2. Для определения этого знака просто оцениваем четверть. И именно этот знак и ставим перед полученной функцией.

Закономерность

Есть ещё один интересный способ запомнить формулы приведения — и даже не просто запомнить, а вообще «прочувствовать», используя одну интересную стройную закономерность. Обозначим:

• единичный вектор, сонаправленный полярной оси Ox, как i;
• единичный вектор, сонаправленный оси Oy, — как j;
• радиус-вектор, повёрнутый от «полярного» вектора i на ориентированный угол +α, — как r;
• абсолютный угол между a и b — как ∠|a, b| или ∠ab;
• 2π как τ.

Для (ко)синуса

Приведём определения синуса и косинуса:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \sin\alpha = \frac{r_{\mathbf j}}r = \cos\angle\mathbf{jr} = \cos\big|\alpha - \frac\tau4\big|;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\alpha = \frac{r_{\mathbf i}}r = \cos\angle\mathbf{ir} = \cos|\alpha|.}

Мы наблюдаем, что когда мы повернули единичный вектор i, на который собирались проецировать r, на +π/2, чтобы брать проекцию уже на j, то определение косинуса просто взяло и сменилось определением синуса. Если так продолжить далее, то и получатся формулы приведения:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\cos\alpha = \frac{r_{+\mathbf i}}r = \cos\angle|{+}\mathbf i, \mathbf r| = \cos|\alpha - 0\tau|;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\sin\alpha = \frac{r_{+\mathbf j}}r = \cos\angle|{+}\mathbf j, \mathbf r| = \cos\Big|\alpha - \frac14\tau\Big|;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\cos\alpha = \frac{r_{-\mathbf i}}r = \cos\angle|{-}\mathbf i, \mathbf r| = \cos\Big|\alpha - \frac24\tau\Big|;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle -\sin\alpha = \frac{r_{-\mathbf j}}r = \cos\angle|{-}\mathbf j, \mathbf r| = \cos\Big|\alpha - \frac34\tau\Big|;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\cos\alpha = \frac{r_{+\mathbf i}}r = \cos\angle|{+}\mathbf i, \mathbf r| = \cos\Big|\alpha - \frac44\tau\Big|;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle +\sin\alpha = \frac{r_{+\mathbf j}}r = \cos\angle|{+}\mathbf j, \mathbf r| = \cos\Big|\alpha - \frac54\tau\Big|;}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \ldots}

в том числе и в обратную сторону. Получается закономерность, что повороту вектора i → j → −i → −j → i → <…> на каждые +τ/4 соответствует преобразование cos → sin → −cos → −sin → <…>.

Другие формулы

1. тригонометрические функции;
2. сумма тригонометрических функций;
3. разность тригонометрических функций;
4. произведение тригонометрических функций;
5. тригонометрические функции суммы углов;
6. тригонометрические функции разности углов;
7. тригонометрические формулы приведения;
8. тригонометрические функции двойного угла;
9. тригонометрические функции кратных углов;
10. тригонометрические функции половинного угла;
11. тригонометрические функции угла, полученного многократным делением пи на два;
12. выражение тригонометрических функций через другую;
13. выражение тригонометрических функций через гиперболические;
14. тригонометрические функции комплексной переменной;
15. производные тригонометрических функций;
16. дифференциалы тригонометрических функций;
17. интегралы тригонометрических функций;
18. графики тригонометрических функций.

Литература

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике — М., 1956, стр.182.