Теорема синусов

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Теорема синусов находит своё применение в данной задаче
Теорема синусов // Математик МГУ [11:29]

Теорема синусов — утверждение, связывающее углы треугольника с соответствующими сторонами напротив них.

Формулировка[править]

Пусть вершины — A, B, C, а стороны напротив них — a, b, c соответственно. Тогда

[math]\displaystyle{ \frac{\sin A}a = \frac{\sin B}b = \frac{\sin C}c. }[/math]

Существует также расширенная теорема синусов — включающая в себя радиус R окружности, описанной около 3-угольника. Расширенная теорема гласит, что все дроби выше равны

[math]\displaystyle{ \frac1{2R}. }[/math]

Доказательство классической теоремы[править]

Площадь[править]

Есть любопытное доказательство, основанное на том, что формула площади S треугольника, в которой пара сторон и угол между ними, можно переписать тремя способами — по одному углу на каждый:

[math]\displaystyle{ 2S = ab\sin C = bc\sin A = ca\sin B. }[/math]

Нетрудно заметить, что, поделив эти числа на abc, мы в каждой части равенства получим дробь, связывающую сторону и угол напротив неё:

[math]\displaystyle{ \frac{\sin A}a = \frac{\sin B}b = \frac{\sin C}c. }[/math]

Теорема косинусов[править]

Она формулируется так:

[math]\displaystyle{ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}. }[/math]

Выразив из неё синус:

[math]\displaystyle{ \sin^2C = \frac{(2ab)^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}{(2ab)^2} = \frac{(-(a - b)^2 + c^2)((a + b)^2 - c^2)}{(2ab)^2} = \frac{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{(2ab)^2}, }[/math]

мы видим выражение, похожее на формулу Герона. Если его поделить на c2, получится дробь, полностью симметрическая относительно a, b, c. Это значит, что то же выражение мы бы получили для числа sin2A/a2 и для sin2B/b2. Отсюда следует теорема синусов[1].

Доказательство расширенной теоремы[править]

Опишем около треугольника ABC окружность. Теперь будем двигать точку, скажем, C по этой окружности. Тогда, с одной стороны, угол C по свойствам вписанных углов не будет меняться либо будет меняться разве что на смежный угол, но с другой-то стороны, мы добьёмся того, что сторона, скажем, AC[2] будет лежать на диаметре. Тогда, опять же по свойствам вписанных углов, угол B окажется прямым. Тогда катет AB, противолежащий углу C, — это 2R sin C, а значит,

[math]\displaystyle{ 2R = \frac c{\sin C}. }[/math]

Но так как угол C при его передвижении по окружности не меняется либо сменяется смежным «двойником», то данное равенство верно и без привязки AC как диаметра, но для произвольного треугольника.

Примечания[править]

  1. С уточнением того, что синус угла от 0° до 180° всегда неотрицателен.
  2. Либо можно сторону BC, что принципиально неважно.