Теорема синусов

Теорема синусов находит своё применение в данной задаче

Теорема синусов // Математик МГУ [11:29]

Теорема синусов — утверждение, связывающее углы треугольника с соответствующими сторонами напротив них.

Формулировка

Пусть вершины — A, B, C, а стороны напротив них — a, b, c соответственно. Тогда

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.$

Существует также расширенная теорема синусов — включающая в себя радиус R окружности, описанной около 3-угольника. Расширенная теорема гласит, что все дроби выше равны

${\frac {1}{2R}}.$

Доказательство классической теоремы

Площадь

Есть любопытное доказательство, основанное на том, что формула площади S треугольника, в которой пара сторон и угол между ними, можно переписать тремя способами — по одному углу на каждый:

$2S=ab\sin C=bc\sin A=ca\sin B.$

Нетрудно заметить, что, поделив эти числа на abc, мы в каждой части равенства получим дробь, связывающую сторону и угол напротив неё:

${\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.$

Теорема косинусов

Она формулируется так:

$\cos C={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}.$

Выразив из неё синус:

$\sin ^{2}C={\frac {(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}{(2ab)^{2}}}={\frac {(-(a-b)^{2}+c^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}{(2ab)^{2}}}={\frac {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}{(2ab)^{2}}},$

мы видим выражение, похожее на формулу Герона. Если его поделить на c², получится дробь, полностью симметрическая относительно a, b, c. Это значит, что то же выражение мы бы получили для числа sin²A/a² и для sin²B/b². Отсюда следует теорема синусов.

Доказательство расширенной теоремы

Опишем около треугольника ABC окружность. Теперь будем двигать точку, скажем, C по этой окружности. Тогда, с одной стороны, угол C по свойствам вписанных углов не будет меняться либо будет меняться разве что на смежный угол, но с другой-то стороны, мы добьёмся того, что сторона, скажем, AC будет лежать на диаметре. Тогда, опять же по свойствам вписанных углов, угол B окажется прямым. Тогда катет AB, противолежащий углу C, — это 2R sin C, а значит,

$2R={\frac {c}{\sin C}}.$

Но так как угол C при его передвижении по окружности не меняется либо сменяется смежным «двойником», то данное равенство верно и без привязки AC как диаметра, но для произвольного треугольника.