Использование тригонометрии

Робот-манипулятор Канадарм2 на Международной космической станции действует путём управления углами своих суставов. Расчёт окончательного положения космонавта на конце руки требует многократного использования тригонометрических функций этих углов.

Среди непрофессиональной публики, то есть людей, не являющихся математиками или учёными, тригонометрия известна в основном своим приложением к задачам измерения, но также часто используется гораздо более тонкими способами, например, её место в теории музыки; всё же другие варианты использования носят более технический характер, например, в теории чисел. Математические разделы рядов Фурье и преобразований Фурье в значительной степени зависят от знания тригонометрических функций и находят применение в ряде областей, включая статистику.

Утверждение Томаса Пейна

В главе XI «Века разума» американский революционер и мыслитель Просвещения Томас Пейн писал:

Научные принципы, которые человек использует для получения предвидения затмения или чего-либо ещё, относящегося к движению небесных тел, содержатся в основном в той части науки, которая называется тригонометрией, или свойствами треугольника, что в применении к изучению небесных тел называется астрономией; когда применяется для определения курса корабля в океане, это называется навигацией; применительно к построению фигур, нарисованных линейкой и циркулем, это называется геометрией; применительно к строительству планов зданий это называется архитектурой; применительно к измерению любого участка поверхности земли это называется топографической съёмкой. В общем, это душа науки. Это вечная истина: она содержит математическое доказательство, о котором говорит человек, и степень её использования неизвестна. Оригинальный текст(англ.) The scientific principles that man employs to obtain the foreknowledge of an eclipse, or of any thing else relating to the motion of the heavenly bodies, are contained chiefly in that part of science that is called trigonometry, or the properties of a triangle, which, when applied to the study of the heavenly bodies, is called astronomy; when applied to direct the course of a ship on the ocean, it is called navigation; when applied to the construction of figures drawn by a ruler and compass, it is called geometry; when applied to the construction of plans of edifices, it is called architecture; when applied to the measurement of any portion of the surface of the earth, it is called land-surveying. In fine, it is the soul of science. It is an eternal truth: it contains the mathematical demonstration of which man speaks, and the extent of its uses are unknown.

История

Великое тригонометрическое исследование

 → Великое тригонометрическое исследование

С 1802 по 1871 год Великое тригонометрическое исследование было проектом по исследованию Индийского субконтинента с высокой точностью. Начиная с берега, географы и математики триангулировали огромные расстояния по стране. Одним из ключевых достижений было измерение высоты Гималайских гор и определение того, что гора Джомолунгма является самой высокой точкой на Земле.

Историческое использование умножения

В течение 25 лет, предшествовавших изобретению логарифма в 1614 году, простафаэрез был единственным известным общеприменимым способом быстрого приближения произведений. Этот способ использовал тождества для тригонометрических функций сумм и разностей углов в терминах произведений тригонометрических функций этих углов.

Некоторые современные использования

Научные области, в которых используется тригонометрия, включают:

акустика, архитектура, астрономия, геодезия и межевание земли, геофизика, гражданское строительство, зрительное восприятие, картография, кристаллография, машиностроение, медицинская визуализация, обработка резанием, океанография, оптика, сейсмология, статистика, теория вероятностей, теория чисел, фармакология, многие физические науки, электроника и электротехника Оригинальный текст(англ.) :acoustics, architecture, astronomy, cartography, civil engineering, geophysics, crystallography, electrical engineering, electronics, land surveying and geodesy, many physical sciences, mechanical engineering, machining, medical imaging, number theory, oceanography, optics, pharmacology, probability theory, seismology, statistics, and visual perception

То, что эти поля связаны с тригонометрией, не означает, что знание тригонометрии необходимо для того, чтобы что-то о них узнать. Это означает, что некоторые вещи в этих областях нельзя понять без тригонометрии. Например, профессор музыки, возможно, ничего не знает о математике, но, вероятно, знает, что Пифагор был одним из первых известных авторов математической теории музыки.

В некоторых областях деятельности, перечисленных выше, легко представить, как можно использовать тригонометрию. Например, в навигации и топографической съёмке обстоятельства использования тригонометрии, по крайней мере, в некоторых случаях достаточно просты, чтобы их можно было описать в учебнике по тригонометрии для начинающих. В случае теории музыки применение тригонометрии связано с работой, начатой Пифагором, который заметил, что звуки, издаваемые при нажатии на две струны разной длины, являются согласными, если обе длины являются малыми целыми кратными общей длины. Сходство между формой колеблющейся струны и графиком функции синус не является простым совпадением. В океанографии сходство форм некоторых волн с графиком синусоидальной функции также не случайно. В некоторых других областях, среди которых климатология, биология и экономика, наблюдаются сезонные периоды. Их изучение часто связано с периодическим характером функции синуса и косинуса.

Ряды Фурье

 → Ряд Фурье

Многие области используют тригонометрию более продвинутыми способами, чем можно обсудить в одной статье. Часто это так называемые ряды Фурье в честь Жозеф Фурье — французского математика и физика XVIII—XIX веков. Ряды Фурье имеют удивительно разнообразное применение во многих областях науки, в частности, во всех явлениях, связанных с сезонной периодичностью, упомянутой выше, и в волновом движении, и следовательно, в изучении излучения, акустики, сейсмологии, модуляции радиоизлучения в электронике и электроэнергетике.

Ряд Фурье представляет собой сумму этой формы:

$\square +\underbrace {\square \cos \theta +\square \sin \theta } _{1}+\underbrace {\square \cos(2\theta )+\square \sin(2\theta )} _{2}+\underbrace {\square \cos(3\theta )+\square \sin(3\theta )} _{3}+\cdots \$,

где каждый из квадратов ($\square$) — это другое число, и один добавляет бесконечно много членов. Фурье использовал их для изучения тепла потока и диффузии.

Ряды Фурье применимы и к предметам, связь которых с волновым движением далеко не очевидна. Одним из распространённых примеров является цифровое сжатие, при котором изображения, аудио- и видеоданные сжимаются в гораздо меньший размер, что делает возможной их передачу через телефон, Интернет и вещание в сети. Другой пример, упомянутый выше — это диффузия. Среди других: геометрия чисел, изопериметрические задачи, повторяемость случайных блужданий, квадратичная взаимность, центральная предельная теорема, неравенство Гейзенберга.

Преобразования Фурье

 → Преобразование Фурье

Более абстрактным понятием, чем ряды Фурье, является идея преобразований Фурье. Преобразования Фурье включают в себя интегралы, а не суммы, и используются в столь же разнообразном множестве научных областей. Многие законы природы выражаются в соотнесении скорости изменения величин с самими величинами. Например: Скорость изменения численности населения иногда пропорциональна (1) существующей численности населения и (2) количеству, на которое нынешняя популяция отстаёт от потенциальной ёмкости. Этот вид отношений называется дифференциальным уравнением. Если, имея эту информацию, кто-то пытается выразить численность населения как функцию времени, он пытается решить дифференциальное уравнение. Преобразования Фурье могут использоваться для преобразования некоторых дифференциальных уравнений в алгебраические уравнения, для которых известны методы их решения. Преобразования Фурье имеют множество применений. Практически в любом научном контексте, в котором встречаются слова спектр, гармоника или резонанс, рядом есть преобразования Фурье или ряды Фурье.

Статистика, включая математическую психологию

 → Статистика (наука)

 → Математическая психология

Иногда считается, что коэффициенты интеллекта распределяются по колоколообразной кривой. Около 40 % площади под кривой находится в интервале от 100 до 120; соответственно, около 40 % населения набирает от 100 до 120 баллов по тестам IQ. Около 9 % площади под кривой находится в интервале от 120 до 140; соответственно, около 9 % населения набирает от 120 до 140 баллов по тестам IQ и т. д. Точно так же многие другие вещи распределяются по колоколообразной кривой, включая ошибки измерений во многих физических измерениях. Почему повсеместно встречается колоколообразная кривая? Для этого есть теоретическая причина, и она включает в себя преобразования Фурье и, следовательно, тригонометрические функции. Это одно из множества применений преобразований Фурье в статистике.

Тригонометрические функции также применяются, когда статистики изучают сезонные периоды, которые часто представлены рядами Фурье.

Теория чисел

 → Теория чисел

Есть намек на связь между тригонометрией и теорией чисел. Грубо говоря, можно сказать, что теория чисел имеет дело с качественными свойствами, а не с количественными свойствами чисел.

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {2}{42}},\qquad {\frac {3}{42}},\qquad \dots \dots ,\qquad {\frac {39}{42}},\qquad {\frac {40}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

Надо отказаться от тех, которые не на самом низком уровне; а оставить только те, которые находятся на самом низком уровне:

${\frac {1}{42}},\qquad {\frac {5}{42}},\qquad {\frac {11}{42}},\qquad \dots ,\qquad {\frac {31}{42}},\qquad {\frac {37}{42}},\qquad {\frac {41}{42}}.$

Затем внести тригонометрию:

$\cos \left(2\pi \cdot {\frac {1}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {5}{42}}\right)+\cdots +\cos \left(2\pi \cdot {\frac {37}{42}}\right)+\cos \left(2\pi \cdot {\frac {41}{42}}\right)$

Значение суммы равно −1, потому что 42 имеет нечётное число простых множителей, и ни один из них не повторяется: 42 = 2 × 3 × 7. (Если бы было чётное число неповторяющихся множителей, тогда сумма была бы 1; если бы были какие-либо повторяющиеся простые множители (например, 60 = 2 × 2 × 3 × 5), то сумма была бы 0; сумма — это функция Мёбиуса оценивается в 42.) Это намекает на возможность применения анализа Фурье в теории чисел.

Решение нетригонометрических уравнений

Различные типы уравнений могут быть решены с помощью тригонометрии.

Например, линейное разностное уравнение или линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами имеет решения, выраженные через собственные значения своего характеристического уравнения; если некоторые из собственных значений комплексные, комплексные члены могут быть заменены тригонометрическими функциями действительных членов, показывая, что динамическая переменная демонстрирует колебания.

Точно так же кубические уравнения с тремя действительными решениями имеют алгебраическое решение^[en], которое бесполезно, поскольку оно содержит кубические корни из комплексных чисел; опять же существует альтернативное решение в терминах тригонометрических функций действительных членов.