Ряд Фурье

13.1. Что такое ряд Фурье? // N Eliseeva [10:22]

Ряды Фурье // Vasiliy Tereshkov [44:19]

Ряд Фурье — это тригонометрический ряд (являющийся разложением функции f(x) на интервале [-l; l]), в котором слагаемыми служат функции a_ncos(c_nx) и b_nsin(c_nx), а коэффициенты a_n, b_n, c_n = πn/l — это числа.

• Периодическая функция f(x) имеет дискретный спектр, т.е. она может быть представлена в виде отдельных гармоник с частотами πn/l.

Формулы

Разложение функции f(x) на интервале [-l; l]:

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos {\frac {\pi nx}{l}}+b_{n}\sin {\frac {\pi nx}{l}}\right)$, где $a_{n}={\frac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)\cos {\frac {\pi nx}{l}}dx$, $b_{n}={\frac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)\sin {\frac {\pi nx}{l}}dx$.

Разложение функции f(x) на интервале [−π; π]:

$f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx\right)$, где $a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx$, $b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin nxdx$.

Разложение чётной функции f_чёт(x) на интервале [-l; l]:

Разложение нечётной функции f_нечёт(x) на интервале [-l; l]:

Разложение чётной функции f_чёт(x) на интервале [-π; π]:

Разложение нечётной функции f_нечёт(x) на интервале [-π; π]:

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0; l]:

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0; l]:

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0; π]:

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0; π]:

Пример

Разложение функции f(x)=e^x на интервале [-π, π].

Сначала находим коэффициенты:

Окончательно, получаем разложение Фурье:

Другие ряды:

• Числовой ряд;
• Ряд Маклорена;
• Ряд Тейлора;
• Ряд Тейлора комплексный;
• Ряд Лорана;
• Ряд Фурье;
• Ряд Фурье комплексный.

См. также

• Интеграл Фурье
• Явление Гиббса

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973.

Ссылки

• Участник:Logic-samara