Ряд Фурье

Материал из Циклопедии
Перейти к: навигация, поиск
7.1 Ряды Фурье // academyathome [8:39]
Ряды Фурье // Vasiliy Tereshkov [44:19]

Ряд Фурье — это тригонометрический ряд (являющийся разложением функции f(x) на интервале [-l; l]), в котором слагаемыми служат функции ancos(cnx) и bnsin(cnx), а коэффициенты an, bn, cn = πn/l — это числа.

  • Периодическая функция f(x) имеет дискретный спектр, т.е. она может быть представлена в виде отдельных гармоник с частотами πn/l.

Формулы[править]

Разложение функции f(x) на интервале [-l; l]:

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l}+b_n\sin\frac{\pi nx}{l}\right) }[/math], где [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^lf(x)\cos\frac{\pi nx}{l}dx }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^lf(x)\sin\frac{\pi nx}{l}dx }[/math].

Разложение функции f(x) на интервале [−π; π]:

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right) }[/math], где [math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx }[/math], [math]\displaystyle{ b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx }[/math].

Разложение чётной функции fчёт(x) на интервале [-l; l]:

ФУР03.JPG

Разложение нечётной функции fнечёт(x) на интервале [-l; l]:

ФУР04.JPG

Разложение чётной функции fчёт(x) на интервале [-π; π]:

ФУР05.JPG

Разложение нечётной функции fнечёт(x) на интервале [-π; π]:

ФУР06.JPG

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0; l]:

ФУР07.JPG

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0; l]:

ФУР08.JPG

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0; π]:

ФУР09.JPG

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0; π]:

ФУР10.JPG

Пример[править]

Разложение функции f(x)=ex на интервале [-π, π].

Сначала находим коэффициенты:
ФУР11.JPG

Окончательно, получаем разложение Фурье:
ФУР12.JPG

Другие ряды:[править]

См. также[править]

Литература[править]

  • Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973.

Ссылки[править]