Ряд Фурье

13.1. Что такое ряд Фурье? // N Eliseeva [10:22]

Ряды Фурье // Vasiliy Tereshkov [44:19]

Ряд Фурье — это тригонометрический ряд (являющийся разложением функции f(x) на интервале [-l; l]), в котором слагаемыми служат функции a_ncos(c_nx) и b_nsin(c_nx), а коэффициенты a_n, b_n, c_n = πn/l — это числа.

• Периодическая функция f(x) имеет дискретный спектр, т.е. она может быть представлена в виде отдельных гармоник с частотами πn/l.

Формулы

Разложение функции f(x) на интервале [-l; l]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{\pi nx}{l}+b_n\sin\frac{\pi nx}{l}\right)} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^lf(x)\cos\frac{\pi nx}{l}dx} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^lf(x)\sin\frac{\pi nx}{l}dx} .

Разложение функции f(x) на интервале [−π; π]:

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)} , где Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx dx} , Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle b_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx dx} .

Разложение чётной функции f_чёт(x) на интервале [-l; l]:

Разложение нечётной функции f_нечёт(x) на интервале [-l; l]:

Разложение чётной функции f_чёт(x) на интервале [-π; π]:

Разложение нечётной функции f_нечёт(x) на интервале [-π; π]:

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0; l]:

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0; l]:

Разложение функции f(x) по косинусам на интервале [0; π]:

Разложение функции f(x) по синусам на интервале [0; π]:

Пример

Разложение функции f(x)=e^x на интервале [-π, π].

Сначала находим коэффициенты:

Окончательно, получаем разложение Фурье:

Другие ряды:

1. Числовой ряд;
2. Ряд Маклорена;
3. Ряд Тейлора;
4. Ряд Тейлора комплексный;
5. Ряд Лорана;
6. Ряд Фурье;
7. Ряд Фурье комплексный.

См. также

• Интеграл Фурье
• Явление Гиббса

Литература

• Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973

Ссылки

• Участник:Logic-samara