VIDEO
Преобразования #8: ряды Фурье, комплексная форма ряда Фурье // Самообразование [11:11]
Ряд Фурье комплексный — это ряд Фурье в комплексной форме (являющийся разложением функции f(x) на интервале [−l; l] ), в котором слагаемыми служат комплексные функции cn eiπnx/l , а коэффициенты cn — это комплексные числа .
Разложение функции f(x) на интервале [−l; l] :
f
(
x
)
=
1
2
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
e
i
π
n
x
l
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{\frac {i\pi nx}{l}}}
, где
c
n
=
1
l
∫
−
l
l
f
(
x
)
e
−
i
π
n
x
l
d
x
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{l}}\int \limits _{-l}^{l}f(x)e^{-{\frac {i\pi nx}{l}}}dx}
Разложение функции f(x) на интервале [−π; π] :
f
(
x
)
=
1
2
∑
n
=
−
∞
∞
c
n
e
i
n
x
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}e^{inx}}
, где
c
n
=
1
π
∫
−
π
π
f
(
x
)
e
−
i
n
x
d
x
{\displaystyle c_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-inx}dx}
Разложение функции f(x) = ex на интервале [−π; π] .
Сначала определяем коэффициенты:
f
(
x
)
=
e
x
⇒
c
n
=
1
π
∫
−
π
π
e
x
e
−
i
n
x
d
x
=
1
π
(
1
−
i
n
)
∫
−
π
π
e
(
1
−
i
n
)
x
d
(
1
−
i
n
x
)
=
{\displaystyle f(x)=e^{x}\Rightarrow c_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{x}e^{-inx}dx={\frac {1}{\pi (1-in)}}\int \limits _{-\pi }^{\pi }e^{(1-in)x}d(1-inx)=}
=
1
π
(
1
−
i
n
)
e
(
1
−
i
n
)
x
|
−
π
π
=
e
(
1
−
i
n
)
π
−
e
−
(
1
−
i
n
)
π
π
(
1
−
i
n
)
=
e
π
e
−
i
n
π
−
e
−
π
e
i
n
π
π
(
1
−
i
n
)
=
(
−
1
)
n
(
e
π
−
e
−
π
)
π
(
1
−
i
n
)
{\displaystyle =\left.{\frac {1}{\pi (1-in)}}e^{(1-in)x}\right|_{-\pi }^{\pi }={\frac {e^{(1-in)\pi }-e^{-(1-in)\pi }}{\pi (1-in)}}={\frac {e^{\pi }e^{-in\pi }-e^{-\pi }e^{in\pi }}{\pi (1-in)}}={\frac {(-1)^{n}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)}{\pi (1-in)}}}
Окончательно, получаем разложение Фурье в комплексной форме:
e
x
=
e
π
−
e
−
π
2
π
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
e
i
n
x
1
−
i
n
⇔
e
x
=
e
π
−
e
−
π
2
π
∑
n
=
−
∞
∞
(
−
1
)
n
e
i
n
x
(
1
+
i
n
)
1
+
n
2
{\displaystyle e^{x}={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{inx}}{1-in}}\Leftrightarrow e^{x}={\frac {e^{\pi }-e^{-\pi }}{2\pi }}\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}e^{inx}(1+in)}{1+n^{2}}}}
Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973.