Ряд Тейлора — это степенной ряд , в котором слагаемыми служат действительная функция f(x) в точке a и её производные всех порядков в точке a , делённые на факториал соответствующий порядку производной и умноженные на (x − a) в соответствующей степени.
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
‴
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
…
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
…
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+\ldots }
VIDEO
Формула Тейлора за 3 минуты // bezbotvy [2:14]
VIDEO
Формула Тейлора / Юрий Григорьев [1:26:26]
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}}
Ряд Тейлора является обобщением ряда Маклорена (в котором a = 0 ) на случай произвольного a .
Формула с остаточным членом Rn имеет вид:
f
(
x
)
=
f
(
a
)
+
f
′
(
a
)
1
!
(
x
−
a
)
+
f
″
(
a
)
2
!
(
x
−
a
)
2
+
f
‴
(
a
)
3
!
(
x
−
a
)
3
+
…
+
f
(
n
)
(
a
)
n
!
(
x
−
a
)
n
+
R
n
{\displaystyle f(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f'''(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}+R_{n}}
f
(
x
)
=
∑
i
=
0
n
f
(
i
)
(
a
)
i
!
(
x
−
a
)
i
+
R
n
{\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}{\frac {f^{(i)}(a)}{i!}}(x-a)^{i}+R_{n}}
R
n
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
(
x
−
a
)
n
+
1
{\displaystyle R_{n}={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}}
ξ
∈
(
a
,
x
)
{\displaystyle \xi \in (a,x)}
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. 
Формула Тейлора за 3 минуты // bezbotvy [2:14]
