Комплексный ряд Тейлора

Материал из Циклопедии
(перенаправлено с «Ряд Тейлора комплексный»)
Перейти к: навигация, поиск
Комплексный анализ. Лекция 9a. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора // Михаил Абрамян [44:28]

Ряд Тейлора комплексный — это степенной ряд для комплексной функции f(z), аналитичной внутри окружности K с центром в точке a и радиусом r, являющийся разложением по степеням (z − a).

Формула[править]

[math]\displaystyle{ f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n, \ |z-a| \lt r, \ \text{где} }[/math]
[math]\displaystyle{ a_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{K'}\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}}, }[/math]
[math]\displaystyle{ K'=\{z:|z-a|=r',\ r' \lt r\} }[/math]

Формула с остаточным членом Rn имеет вид:

[math]\displaystyle{ f(z)=\sum\limits_{j=0}^na_j(z-a)^j+R_n, \ |z-a| \lt r, \ \text{где} }[/math]
[math]\displaystyle{ a_j=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{K'}\frac{f(z)dz}{(z-a)^{j+1}}, \ R_n=\frac{(z-a)^{n+1}}{2\pi i}\int\limits_{K'}\frac{f(\zeta)d\zeta}{(\zeta-a)^{n+1}(\zeta-z)}, }[/math]
[math]\displaystyle{ K'=\{z:|z-a|=r',\ r' \lt r\} }[/math]

Другие ряды[править]

Литература[править]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.