Комплексный ряд Тейлора

Комплексный анализ. Лекция 9a. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора // Михаил Абрамян [44:28]

Комплексный ряд Тейлора — степенной ряд для комплексной функции f(z), аналитичной внутри окружности K с центром в точке a и радиусом r, являющийся разложением по степеням (z − a).

Формула

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(z-a)^n, \ |z-a| < r, \ \text{где}}

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle a_n=\frac{1}{2\pi i}\int\limits_{K'}\frac{f(z)dz}{(z-a)^{n+1}},}

$K'=\{z:|z-a|=r',\ r'<r\}$

Формула с остаточным членом R_n имеет вид:

$f(z)=\sum \limits _{j=0}^{n}a_{j}(z-a)^{j}+R_{n},\ |z-a|<r,\ {\text{где}}$

$a_{j}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{K'}{\frac {f(z)dz}{(z-a)^{j+1}}},\ R_{n}={\frac {(z-a)^{n+1}}{2\pi i}}\int \limits _{K'}{\frac {f(\zeta )d\zeta }{(\zeta -a)^{n+1}(\zeta -z)}},$

Невозможно разобрать выражение (SVG с запасным PNG (MathML можно включить с помощью плагина для браузера): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle K'=\{z:|z-a|=r',\ r' < r\}}

Другие ряды

1. Числовой ряд;
2. Ряд Маклорена;
3. Ряд Тейлора;
4. Ряд Тейлора комплексный;
5. Ряд Лорана;
6. Ряд Фурье;
7. Ряд Фурье комплексный.

Литература

• Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров — М.: Наука, 1970.