Комплексный ряд Фурье

Материал из Циклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Преобразования #8: ряды Фурье, комплексная форма ряда Фурье // Самообразование [11:11]

Ряд Фурье комплексный — это ряд Фурье в комплексной форме (являющийся разложением функции f(x) на интервале [−l; l]), в котором слагаемыми служат комплексные функции cneiπnx/l, а коэффициенты cn — это комплексные числа.

Формулы[править]

Разложение функции f(x) на интервале [−l; l]:

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^\frac{i\pi nx}{l} }[/math], где [math]\displaystyle{ c_n=\frac{1}{l}\int\limits_{-l}^lf(x)e^{-\frac{i\pi nx}{l}}dx }[/math]

Разложение функции f(x) на интервале [−π; π]:

[math]\displaystyle{ f(x)=\frac{1}{2}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{inx} }[/math], где [math]\displaystyle{ c_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)e^{-inx}dx }[/math]

Пример[править]

Разложение функции f(x) = ex на интервале [−π; π].

Сначала определяем коэффициенты:

[math]\displaystyle{ f(x)=e^x \Rightarrow c_n=\frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^xe^{-inx}dx = \frac{1}{\pi(1-in)}\int\limits_{-\pi}^{\pi}e^{(1-in)x}d(1-inx)= }[/math]
[math]\displaystyle{ =\left.\frac{1}{\pi(1-in)}e^{(1-in)x}\right|_{-\pi}^{\pi}=\frac{e^{(1-in)\pi}-e^{-(1-in)\pi}}{\pi(1-in)}=\frac{e^{\pi}e^{-in\pi}-e^{-\pi}e^{in\pi}}{\pi(1-in)}=\frac{(-1)^n\left(e^{\pi}-e^{-\pi}\right)}{\pi(1-in)} }[/math]

Окончательно, получаем разложение Фурье в комплексной форме:

[math]\displaystyle{ e^x=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^ne^{inx}}{1-in} \Leftrightarrow e^x=\frac{e^{\pi}-e^{-\pi}}{2\pi}\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(-1)^ne^{inx}(1+in)}{1+n^2} }[/math]

Другие ряды[править]

См. также[править]

Литература[править]

  • Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа для втузов — М.: Наука, 1973.